纯度函数所衡量的纯度是决策树生成的依据，然而在某些情形下某些纯度函数却会失效，测不出纯度的变化。关于纯度函数失效的原因，有些文献只给出了含糊的解释，认为这是由于某些函数的预测性能比另一些更好。为了清晰地说明纯度函数失效的原因，本文首先拓展了纯度函数的定义，得到了一种能够方便地运用数学方法的新的纯度函数形式；并在这种新的纯度函数形式的基础上，在数学上严格地证明了，为什么有些纯度函数在这些情况下会失效，而另外的一些却不会。所谓的"预测性能好"，其实质是什么。本文将指出，这种"预测性能"实际上与纯度函数某种特殊的"凹凸性"有关。这种凹凸性只在特定的方向才呈现出来。本文将通过若干定理，阐明如何通过赫斯矩阵寻找这些特定的方向；对于纯度函数，这种方向又是什么；这些方向上所展示的凹凸性有是如何影响函数的"预测性能"的。最后通过若干实验数据，形象地展示了文章中的结论。