以还原论方法论为基础的近代物理学取得了极大的成功,并且导致了一系列现代科学技术的产生与发展。然而,典型的复杂系统,例如生命系统和社会系统,由于存在自组织和自适应的特点,全体不等于部分的简单组合,从根本上不适用于还原论。如何建立复杂系统的定量科学系统,是整个科学界长期以来的关注热点之一。近二十年来,复杂系统研究受到了分外的重视。上世纪末作为复杂系统描述工具出现的复杂网络的研究热潮对此也起了推动作用。我们课题组也从事了复杂系统和复杂网络的研究。本论文的前两部分报告我们对复杂网络中的两个热点问题,即关联双层网和群落划分的研究;后两部分分别报告我们对一类复杂系统中的重要现象——雪崩,以及一个重要复杂系统——科研论文发表系统的研究。　　 典型的复杂系统可以被划分为许多层次和子系统,每个层次和子系统中存在许多种互相作用的基本单元,这些层次和子系统之问又存在复杂的关联。这使得对系统整体的研究具有很大困难。人们自然地首先研究一种基本单元及其相互作用,暂时抛开它们与其它基本单元的相互作用。这就是为什么到目前为止大多数研究的复杂网络都仅包括一种节点及其相互作用。这种网络可以称为“层状网”。显然,一个典型的复杂系统必须用许多互相复杂关联的层状网来描述。这样的更复杂网络被称为“超网络”、“网络的网络”或者“互关联网络”。它们已经成为一个公认的复杂网络研究重要方向。例如,2003年9月在罗马召开了主题为“Growing Networks and Graphs in Statistical Physics,Finance,Biologyand Social Systems”的国际会议,提出了十大急待研究的复杂网络问题,网络的网络位列其中之一。然而,直接研究网络的网络还存在很大困难。作为起步,许多人研究少数几层互相关联的层状网。本论文第一部分报道我们对一类关联双层网的研究。　　 以往的研究中,一个城市公交或铁路系统常被映射为两个空间:P空间和L空间。在这两个空间中,每个节点都代表公交或铁路站点,P空间的连边表示这两个站点之间至少有一路汽车或火车提供了直达服务,在L空间中,两个节点间的连边表示它们至少是一条线路上相邻的站点。在我们所知的情况下,尽管关于两个单独空间的网络拓扑性质研究已很多,但是到目前为止还没有关于P空间和L空间拓扑关联关系的研究。和Kurant相关文章中的观念相似,我们认为P空间描述了交通流,而L空间近似地描述了承载这些交通流的道路。研究两个空间的拓扑性质关联对理解交通基础和交通流的关系肯定大有益处。借助于一些合理的简化假设,我们解析得到了同一交通工具的L空间和P空间构成的双层网中两种重要拓扑性质(度和集群系数)的关联关系,所得结论与中国铁路系统及三个中国城市的公交系统实证研究结果很好地相符。这些结果表明:在统计平均的意义上,L空间中的重要枢纽点在P空间中也同样重要,次要的节点在P空间中也是次要的,这个结果符合我们的直觉。类似地,L空间的稠密部分在P空间中也同样稠密。这种双层网的描述方法应该对其它许多实际系统也有效,因此上述对两层网之间拓扑性质关系的理解对设计、控制许多系统将会非常有益。这部分研究已经在Phys.Lett.A上发表,本人(本论文作者、学位申请者)为第一作者。　　 大量实证研究已经表明,大多数复杂网络具有所谓的“群落”结构,即网络节点由于种种原因结合成集团,集团内部连接紧密,而集团之间连接稀疏。因此在复杂网络研究中,群落结构划分或识别是最重要的问题之一。在现有的群落划分算法中,群落几乎都是根据网络的拓扑结构来划分的。依据节点功能或其他因素的划分识别受到注意还是不久以前的事。也就是说,有时群落的识别不光是依赖于拓扑结构,还依赖于其他信息。例如,一个研究组的成员往往在他们的工作场所以及其他地方经常讨论,组成一个思想交流的紧密圈子,但他们并不总是在一起发表文章(大多数是和导师一起发表论文)。当我们建立一个科研合作网络时,通常的定义是把作者作为节点,两个作者之间的连边表示一篇文章的共同作者关系。那么,通过这种拓扑结构得到的群落划分很可能与实际的科研合作组很不同。这是因为一些科学研究组成员可能和组外的其他人发表文章,如果这些组外文章包含很多作者从而产生很多合作边的话,他们很可能就会隶属于另外一个稠密的群落。问题是:假定我们不知道作者的隶属课题组,而又认为课题组是合理的群落,那么在课题组结构影响网络拓扑结构的前提下,仅仅通过拓扑结构信息是否能合理地划分群落?就我们所知,目前还只有极少的文章涉及到此类问题。本论文的第三章用一个例子说明:对于认为课题组是合理群落的情况,在四种有特点的算法中,加权的Newman算法是最好的选择,使用它可以仅根据拓扑信息得到最接近于课题组的群落划分。这些思想对其他实际的复杂网络的群落划分也有很好的借鉴作用。这部分研究已经在Chin.Phys.B上发表,本人(本论文作者、学位申请者)为第一作者。　　 一个得到很多领域科学家的长时间关注的现象是复杂系统中的“雪崩”或“级联故障”。“级联故障”这个名称比“雪崩”包含了更多的信息。称之为级联是因为事件的传播过程象一个链式的反应,即一代事件引起下一代事件的发生。称之为故障是因为这样级联的事件经常产生大大小小的灾难。真实的山上雪崩或泥石流、电网的大停电事故是一些常见的产生灾难的级联故障例子。因为有些级联故障并不会产生灾难,我们在对级联故障作一般性的讨论时,可称这种现象为“级联事件”。为什么级联事件经常会产生大大小小的灾难?我们认为一般有两种因素,第一种是大多数的级联事件会增长得越来越多,一个事件产生了更多的下一代事件。即使个别事件并不有害,但无节制的事件增长也常常会引起灾难。例如兔子的无限制繁殖也引起灾难。第二个原因是级联事件发生的频率变得越来越高,即两代事件之间的间隔变得越来越短,比如在真实雪崩、泥石流和电网的大停电事故中,灾难是恐怖的正是因为事件的发生越来越快以至于完全没时间和能力做出反应。依照这些思想,我们可能将级联事件分为两种类型:一种是具有“内禀加速机制”的级联事件,它们往往导致灾难,另一种是不具有“内禀加速机制”的级联事件,它通常并不引起灾难。我们建立了一个简化的沙堆模型和一个简化的逻辑斯谛模型来展示两种类型的级联事件的特征规律,并且提供了分别与这些不同特征规律符合的实证观测。这些新思想可能对长期以来的雪崩研究以全新的启示。这部分研究已经在PhySica A上发表,本人(本论文作者、学位申请者)为第一作者。　　 近十年来,越来越多的物理学家认识到复杂系统的重要性并投入到这项研究中,社会系统是复杂系统之一,成为吸引科学家的一项重要研究。人类的科学活动,包括科学研究的文章发表,也是非常重要的社会系统,同样得到了重视和研究。在社会系统研究中,往往会有这样的现象,即社会学家有好的思想,但不能定量地描述其中的规律。数理科学家可能得到这些思想的定量表述,并且导致新的普遍规律的发现。第五章报道了我们从全新角度对科研文章发表这个复杂系统作的调研。直观地来看,一个高水平的杂志接受高水平作者的文章,并可能邀请更高水平的作者做期刊的编委。这可以看成期刊、作者和编委会成员之间的一种类型的合作和竞争。我们给出了一个关于期刊、作者和编委会成员的交互作用模型。在模型中,期刊接受作者的发文和邀请作者做编委的概率都是正态分布,然而第二个正态分布的最可几值有一定漂移,使得期刊有更高水平的作者成为它的编委。实证中我们调研了15个不同影响因子的期刊,结果与模型的解析结果相符。这个关于期刊、作者和编委会成员函数关系的定量描述对科学家来说可能是重要的,对科研管理部门可能也有参考作用。这部分研究已经在Chin.Phys.Lett.上发表,本人(本论文作者、学位申请者)为第一作者。