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平面Hamilton系统对应的Abel积分的构造、解析性及其零点个数的研究具有深刻的理论意义及广泛的应用背景.这方面的研究与弱化Hilbert第16问题紧密相关.本文利用常微分方程定性理论和分支理论的方法,对一类关于x轴、y轴对称,具有中心奇点的三次Hamilton系统(其对应的Hamilton函数为H(x,y)=Ax2+By2+Cx4+ Ex2y2+ Dy4,其中A,B,C,D,E为常数,且满足AB>0,D≠0,C/A2+D/B2=0.)在一般n次多项式扰动下的分支问题进行了研究。 本文先通过坐标变换,将Hamilton函数转化为H(x,y)=x2+y2-x4+ax2y2+y4,其中a=EB2/A|D|.再对扰动系统所对应的Abel积分的代数构造进行了研究,讨论了其解析性并对其零点个数进行了估计.根据参数a的取值,分为两种情况.当a≥-2时,相应的Hamilton系统有一个周期闭轨族Γ1h={(x,y)|H(x,y)=h,h∈∑1(△)(0,1/4)}.当a<-2时,相应的Hamilton系统有一个围绕中心O的周期闭轨族Γ2h={(x,y)|H(x,y)=h,h∈Σ2(△)(0,-a/a2+4)},两个分别围绕中心S1(-√2/2,0),S2(√2/2,0)的周期闭轨族.Γ-h={(x,y)|H(x,y)=h,h∈∑3(△)(-a/a2+4,1/4),x<0},Γ+h={(x,y)H(x,y)=h,h∈Σ3,x>0}。 本研究分为五个部分:第一章介绍了本课题的研究背景、研究进展情况以及本文的主要研究结果。第二章研究了扰动系统对应的Abel积分在h∈Σ1或Σ2上的代数构造.I(h)=α(h)I01+β(h)I03+γ(h)I21+δ(h)I23,其中Ii,j(h)=∮Γhxiyjdx,α(h),β(h),γ(h),δ(h)都是关于h的实多项式,且满足degα(h)≤[n-1/4](△)p,degβ(h)≤[n-3/4](△)q,degγ(h)≤q,degδ(h)≤p-1.并求出了四个生成元I01,I03,I21,I23满足的Picard-Fuchs方程.进而推出了I01,Z满足的二阶齐次线性微分方程,其中Z=a-2/6(a2+4)I03+a+2/2(a2+4)I21+1/3I23。第三章通过研究I01,Z分别满足的二阶齐次线性微分方程,将I01,Z扩展到复平面,从而将I(h)解析延拓到复平面上。I(h)可能不解析的点为h=0,-α/8,-a/a2+4,-1/4,1/4,∞,再对这六个点处的解析性进行分析,为估计扰动系统在h∈Σ1或∑2上对应Abel积分零点个数的估计做好了铺垫。第四章利用数学归纳法给出了I(k+1)(h)(0≤k≤q+1)的代数构造,当k=q+1时,I(q+2)(h)=αq+2(h)/Gq+1(h)I01+δq+2(h)/Gq+1(h)Z,其中G(h)=4/3h(h-1/4)(h+1/4)(h+a/a2+4),αq+2(h),δq+2(h)都是关于h的实多项式,且满足degαq+2(h)≤p+3q+3,degδq+2(h)≤p+3q+2.利用Riccati方程及广义罗尔定理估计出扰动系统在h∈∑1或Σ2上对应Abel积分零点个数的上界为σ(a),其中σ(a)={3p+9q+13,a∈(-∞,-2],3p+8q+12,a∈(-2,0],3p+9q+13,a∈(0,+∞)。第五章研究了扰动系统所对应的Abel积分在h∈Σ3上的代数构造,I(h)=α(h) I01+β(h)I03+γ(h)I21+δ(h)I23+(α(h)I11+β(h)I13+γ(h)I31+δ(h)I33),其中α(h),β(h),γ(h),δ(h),(α(h),β(h),γ(h),δ(h))都是关于h的实多项式,且满足degα(h)≤p,degβ(h)≤q,degγ(h)≤q,degδ(h)≤p-1,degα(h)≤p,degβ(h)≤q,degγ(h)≤q,degδ(h)≤p-1.并给出了生成元I01,I03,I21,I23满足Picard-Fuchs方程和生成元I11,I13,I31,I33满足的Picard-Fuchs方程。