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平面Hamilton系统对应的Abel积分的构造、解析性及其零点个数的研究具有深刻的理论意义及广泛的应用背景.这方面的研究与弱化Hilbert第16问题紧密相关.本文利用常微分方程定性理论和分支理论的方法，对一类关于x轴、y轴对称，具有中心奇点的三次Hamilton系统（其对应的Hamilton函数为H（x，y）=Ax2+By2+Cx4+ Ex2y2+ Dy4，其中A，B，C，D，E为常数，且满足AB＞0，D≠0，C/A2+D/B2=0.）在一般n次多项式扰动下的分支问题进行了研究。 本文先通过坐标变换，将Hamilton函数转化为H(x，y)=x2+y2-x4+ax2y2+y4，其中a=EB2/A|D|.再对扰动系统所对应的Abel积分的代数构造进行了研究，讨论了其解析性并对其零点个数进行了估计.根据参数a的取值，分为两种情况.当a≥-2时，相应的Hamilton系统有一个周期闭轨族Γ1h={（x，y）|H（x，y）=h，h∈∑1(△)(0，1/4)}.当a＜-2时，相应的Hamilton系统有一个围绕中心O的周期闭轨族Γ2h={(x，y)|H(x，y)=h，h∈Σ2(△)（0，-a/a2+4）}，两个分别围绕中心S1(-√2/2，0)，S2（√2/2，0）的周期闭轨族.Γ-h={(x，y)|H(x，y)=h，h∈∑3(△)（-a/a2+4，1/4），x＜0}，Γ+h={（x，y)H（x，y）=h，h∈Σ3，x＞0}。 本研究分为五个部分：第一章介绍了本课题的研究背景、研究进展情况以及本文的主要研究结果。第二章研究了扰动系统对应的Abel积分在h∈Σ1或Σ2上的代数构造.I(h)=α(h)I01+β(h)I03+γ(h)I21+δ(h)I23，其中Ii，j（h）=∮Γhxiyjdx，α（h)，β（h），γ（h)，δ（h）都是关于h的实多项式，且满足degα(h)≤[n-1/4](△)p，degβ(h)≤[n-3/4](△)q，degγ(h)≤q，degδ(h)≤p-1.并求出了四个生成元I01，I03，I21，I23满足的Picard-Fuchs方程.进而推出了I01，Z满足的二阶齐次线性微分方程，其中Z=a-2/6(a2+4)I03+a+2/2(a2+4)I21+1/3I23。第三章通过研究I01，Z分别满足的二阶齐次线性微分方程，将I01，Z扩展到复平面，从而将I（h）解析延拓到复平面上。I（h）可能不解析的点为h=0，-α/8，-a/a2+4，-1/4，1/4，∞，再对这六个点处的解析性进行分析，为估计扰动系统在h∈Σ1或∑2上对应Abel积分零点个数的估计做好了铺垫。第四章利用数学归纳法给出了I（k+1）(h)（0≤k≤q+1）的代数构造，当k=q+1时，I(q+2)（h）=αq+2(h)/Gq+1(h)I01+δq+2(h)/Gq+1(h)Z，其中G(h)=4/3h（h-1/4）(h+1/4)(h+a/a2+4)，αq+2(h)，δq+2(h)都是关于h的实多项式，且满足degαq+2(h)≤p+3q+3，degδq+2(h)≤p+3q+2.利用Riccati方程及广义罗尔定理估计出扰动系统在h∈∑1或Σ2上对应Abel积分零点个数的上界为σ(a)，其中σ(a)={3p+9q+13，a∈(-∞，-2]，3p+8q+12,a∈(-2,0],3p+9q+13，a∈(0，+∞)。第五章研究了扰动系统所对应的Abel积分在h∈Σ3上的代数构造，I(h)=α(h) I01+β(h)I03+γ(h)I21+δ(h)I23+(α(h)I11+β(h)I13+γ(h)I31+δ(h)I33)，其中α(h)，β(h)，γ(h)，δ(h)，(α(h)，β（h），γ(h)，δ(h))都是关于h的实多项式，且满足degα(h)≤p，degβ(h)≤q,degγ(h)≤q,degδ(h)≤p-1,degα(h)≤p,degβ(h)≤q，degγ(h)≤q，degδ(h)≤p-1.并给出了生成元I01，I03，I21，I23满足Picard-Fuchs方程和生成元I11，I13，I31，I33满足的Picard-Fuchs方程。