三对角矩阵是一类重要的特殊矩阵,它在工程学、医学和信号处理中有着广泛的应用.特别是在求解差分方程、微分方程以及延滞微分方程时,常常需要计算三对角矩阵的幂和逆.正是由于三对角矩阵的应用广泛,近几年来,三对角矩阵的性质引起了人们相当大的研究兴趣.本文主要研究两类复三对角矩阵的相关问题,如矩阵的行列式、特征值问题、幂的显式表达式等.本文的主要内容安排如下：第一章首先介绍了三对角矩阵的应用背景和国内外的研究现状.其次,给出了切比雪夫多项式的定义、性质以及矩阵论中的相关知识,为本文三对角矩阵性质的研究做好铺垫.最后介绍了本文的主要工作以及创新点和难点.第二章提出了一种计算复三对角矩阵的行列式、特征多项式、特征值和特征向量的新方法.这种方法既不同于Yueh和Willms所用的半无限序列的符号演算方法,也不同于Kouachi采用的基于递推序列的方法,而是将切比雪夫多项式和三对角矩阵的行列式联系起来,利用切比雪夫多项式的性质来计算三对角矩阵的行列式、特征多项式、特征值和特征向量.这一章考虑了两类三对角矩阵,第一类是首末上下对角元变化的复三对角矩阵,第二类是首末主对角元变化而对应的上下对角元乘积为定值的复三对角矩阵.通过计算这两类三对角矩阵的行列式、特征多项式、特征值和特征向量,本文将新方法完整地呈现了出来.第三章主要考虑了第二类复三对角矩阵.首先通过构造变换矩阵的逆矩阵,给出了第二类复三对角矩阵的谱分解,并对构造结果进行了证明.然后根据谱分解计算了第二类复三对角矩阵任意整数次幂和逆的显式表达式.最后,给出了第二类复三对角矩阵的酉对角化条件以及所构成的三对角矩阵族的一些性质并给予了证明.第四章总结性地介绍了本文的主要思想方法和工作,给出了一些建议性的想法.