论文部分内容阅读
在生物数学中，研究种群模型的动力学性质已经成为了一个重要内容，而其中对具有扩散项的种群模型的研究受到了许多数学家和生物学家的关注。由于能量在生物个体中的传递、转化的差异，对具有不同功能反应函数以及扩散项的捕食-被捕食系统的长时间动力学性质的研究，如平衡点的稳定性，由扩散引起的Turing不稳定性，以及Hopf分支等问题，具有很强的理论意义和实际意义。本文研究了具有扩散项以及Holling III型和Beddington-DeAngelis型功能反应函数的种群模型的动力学性质。 1.在具有Holling III型功能反应函数的捕食模型中，研究了食饵具有的避难项对该模型动力学性质的影响。通过构造Lyapunov函数，建立了正平衡点的全局渐近稳定性定理。以避难系数为分支参数，分析了Hopf分支的存在性，并通过中心流形和规范型理论分析了Hopf分支方向以及分支周期解的稳定性。最后，总结了分析结果，对于避难系数如何影响系统的动力学性质给出了解释并进行了数值模拟。 2.在具有Holling III型功能反应函数的捕食模型中，研究了当捕食者的死亡率对系统动力学性质的影响。考虑捕食者内部压力对死亡率的影响，定义捕食者的死亡率是关于捕食者数量的一个递增函数。通过特征根分析，给出了平衡点局部稳定的充分条件，并且讨论了由扩散引起的Turing不稳定性。最后，分析了Hopf分支存在性，以及Hopf分支的性质。 3.研究了一类具有Beddington-DeAngelis型功能反应函数的修正Leslie-Gower种群模型。Beddington-DeAngelis型功能反应函数考虑了捕食者内部作用对捕食效率的影响。另外，该模型假设食饵数量较少时，捕食者会捕食其它的食物，体现在环境对捕食者的最大承受量等于食饵与其他食物的数量和。本文从分支的角度定性的分析了该模型，给出了Turing分支存在条件，Hopf分支存在条件及Hopf分支的性质。 4.在一类具有Beddington-DeAngelis型功能反应函数的修正Leslie-Gower种群模型中，分析了时滞对该模型动力学性质的影响。通过特征根分析，给出了正平衡点局部稳定性条件。以时滞为分支参数，讨论了Hopf分支的存在性，并通过偏泛函微分方程的中心流形和规范型理论，给出了决定Hopf分支方向及周期解稳定性的详细计算公式。