【摘 要】
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偏微分方程（PDE）的解可以刻画许多实际问题,例如病毒在人群中的传播情况,金融衍生品的价格等,所以求解PDE对诸多领域,包括物理、生物、金融等都有重要的意义。高维PDE通常难以求解,而传统算法在处理高维PDE时会出现“维度灾难”,即随着维数增加,计算的复杂度将呈指数倍增加。本文对E W等人于2017年提出的基于深度学习的数值方法--深度BSDE方法,从离散精度与神经网络输入信息复杂度两个方面进行优
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偏微分方程（PDE）的解可以刻画许多实际问题,例如病毒在人群中的传播情况,金融衍生品的价格等,所以求解PDE对诸多领域,包括物理、生物、金融等都有重要的意义。高维PDE通常难以求解,而传统算法在处理高维PDE时会出现“维度灾难”,即随着维数增加,计算的复杂度将呈指数倍增加。本文对E W等人于2017年提出的基于深度学习的数值方法--深度BSDE方法,从离散精度与神经网络输入信息复杂度两个方面进行优化,提出深度C-N方法。通过与其中实例Allen-Cahn方程的数值结果进行比较,证实深度C-N方法能够克服“维度灾难”,且将其损失函数值缩小10倍。最后,将深度C-N方法分别应用于高维Allen-Cahn方程与股票贷款定价方程,对每个方程分别采取深度BSDE方法与深度C-N方法进行求解并对其收敛速度与损失函数值进行比较,最终得出深度C-N方法在计算精度上优于深度BSDE方法,但由于采取了更加复杂的离散格式与神经网络,深度C-N方法在收敛速度上做出一定牺牲。此外,还将这种方法拓展到求解反射PDE,利用惩罚方法将反射PDE近似为一般格式的PDE。同样,通过反射Allen-Cahn方程与反射股票贷款定价方程对深度学习方法求解反射PDE的效果进行了验证,结果表明深度学习方法在求解反射PDE问题上同样具有较好的效果。
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