本文研究了三维位势问题和三维弹性问题的多极边界元法，证明了三维位势问题多极边界元法解的存在唯一性，对三维位势问题多极边界元法中的奇异积分进行了处理，并且推导出三维弹性问题多极边界元法的核函数多极展开式。由于多极边界元法的高效性和低的内存占有量，使边界元法运算大规模问题成为可能。 本文共分为5章，第1章为绪论部分，概述了边界元法、位势问题、多极展开法、多极边界元法的发展状况，指出了本课题的来源、内容和意义。 第2章介绍了多极展开法和多极边界元法的基本理论知识，为多极展开法融合于边界元法格式和后面要研究的多极边界元法奠定了理论基础；讨论了多极展开法适用的范围，本法更新了传统边界元法理论及计算结构，适应大规模运算工程问题的需要。 第3章介绍了Krylov子空间方法的基础理论，并给出GMRES算法详细的迭代计算步骤及实用化处理，描述了基于多极展开法的广义极小残余算法。 第4章介绍了三维位势问题多极边界元法的计算格式，给出了三维位势问题多极边界元法解的存在唯一性及其证明，完善了三维位势问题多极边界元法的数学理论。并且给出了三维位势问题多极边界元法奇异性的处理方法。 第5章首先运用集合论的知识给出FM-BEM的边界表面的数学理论。接着给出了三维弹性问题的边界元法格式，推导出三维弹性问题多极边界元法的核函数分解式，使之适应多极展开法，从而完善了三维弹性问题多极边界元法的数学理论，提高了计算效率和计算精度。