随着计算机技术的迅速发展,数字图像处理在通信、医学、航空航天等领域得到了广泛的应用,因此,对数字图像处理的研究具有重要的意义.而数字图像处理的一个重要研究领域是图像恢复,图像恢复是指从退化的图像中恢复出真实的图像,这是成像和视觉科学的基本任务.另外,随着数据维数的增加,张量研究显得极为重要,张量研究的一个重要研究领域是张量完备化,即从部分的观察数据中恢复完整的张量,这在机器学习、人工智能、图像处理等中具有广泛的应用.本文的主要工作分为两部分,即图像恢复和张量完备化.首先,本文研究了被脉冲噪音和模糊污染的图像恢复问题,对于该问题广泛使用的模型是由l1范数度量的数据拟合项和全变分(total variation)度量的正则化项组成的模型(简称为L1TV),但是这个模型会偏离数据拟合模型和先验模型,特别是对高噪音水平.为了得到比L1TV模型精度更高的解,本文提出了图像去脉冲噪音和模糊的自适应校正过程,然后提出了邻近的交替方向方法求解所提的模型,并且在弱的条件下证明算法的收敛性.数值实验显示,就信噪比和视觉质量而言,所提的方法优于L1TV模型,特别是对于高噪音水平:所提的方法能够处理90%的椒盐脉冲噪音和70%的随机值脉冲噪音.另外,也与当前最好的方法,即两阶段方法,做了比较证明了所提的方法的优越性.其次,对于被脉冲噪音和模糊污染的图像恢复,本文提出了由非凸的数据拟合项和全变分正则化项构成的模型.所提的模型与现存的模型不同,现存的模型的数据拟合项是基于l1或l2范数,正则化项是基于全变分、l1范数或一些非凸的函数.理论上,本文分析了所提模型极小值的性质,并证明了所提模型极小值的每个元素能够保持在逐点常数的区域或完美的拟合观察的数据点.这个性质对于消除脉冲噪音特别有用.另外,本文提出了邻近的最小化算法求解所提的模型,并基于Kurdyka-Lojasiewicz性质证明了算法的全局收敛性.同时通过测试椒盐脉冲噪音和随机值脉冲噪音证明了所提模型的有效性.数值实验显所提模型优于其他两个数据拟合项加正则化项构成的模型(就PSNR值和图像的视觉质量而言),这包括l1范数加全变分(L1TV),l1范数加非凸的函数(L1Nonconvex).最后,本文研究了在有限的样本下多线性数据恢复的张量完备化问题.该问题的一种流行的凸松弛是最小化一个更加方的矩阵核范数,这个方的矩阵由一个张量矩阵化产生.然而,在低样本率下,这个模型不能产生高精度的解.为了得到高精度的解,本文提出了张量完备化的自适应校正方法.首先,对于有界约束的矩阵完备化问题,本文提出了校正的模型,并进一步的分析了模型的误差界.然后扩展到有界约束的张量完备化问题,并提出了张量完备化的校正模型.自适应校正方法由一系列带有初始估计值的校正模型组成,下一步的初始估计值由当前的解计算得到.进一步的,本文应用收敛的三块交替方向法求解所提校正模型的对偶问题.最后利用随机和实际的张量数据的数值实验验证了所提校正方法的有效性。