对于任意的实数α,我们用{a}来表示a的小数部分。研究涉及小数部分的部分和历来都备受关注,因为它与很多数论问题都有重要的联系。例如,根据Dirichlet在1849年对除数函数的部分和估计的结果,可以得到(?)研究上式中余项的阶也就是著名的Dirichlet除数问题。根据上式又可以衍生出很多类似的和式,比较常见的类型是对函数{x/n}加上不同性质的权函数或者改变其本身的幂,也就是形如(?)这样的和式。和式中的权函数f(n)可以任意选取,对于特殊情形f(n)=na,Mercier在1985年首先利用初等方法得到了上面和式的渐近公式,而Kolesnik则是利用Fourier级数的方法得到了和式(?)的上界。同样在1985年,Mercier与其合作者Nowak考虑了当f(n)为单调不减函数时上面和式的估计。本文在前人研究的基础上,主要考虑了下面的问题:设f(t)是任意一个实值的单调不减的函数,并且f(t)在其定义域内恒正。定义如下两个记号(?)我们证明了以下两个结果Sf,k(x)-Tf,k(x)=O(f(x)x131/416log26947/8320),Sf,(x)-Tf,k(x)=Sf,1(x)-Tf,1(x)+O(f(x)x227/796+ε),其中k是一个正整数,而ε表示一个任意小的正实数。此外,作为延伸,我们也考虑了和式(?)的估计。