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本文主要研究群论在图论中的应用,内容主要涉及到代数图论(第二章至第八章)和拓扑图论(第九章至第十一章)两个研究领域.第一章是引言部分,主要介绍本文所要用到的一些有关群和图的基本概念,以及本文将要研究的问题、相关的背景知识和本文取得的相关成果.在第二章,我们给出了5度非正规Cayley图的两个充分条件.由此,构造了一些连通的5度非正规Cayley图的无限类,其中三类为非交换单群上的Cayley图.另外,我们还决定了A5的所有连通5度非正规Cayley图,从而推广了徐明曜和徐尚进[Science in China A,47(2004)593-604]的关于A5的连通3、4度Cayley图正规性结果.应用该结果,我们还决定了A5的所有5度非CI Cayley图,而徐明曜等[Science in China A,44(2001)1503-1508]则证明A5为4-CI群.在第三章,我们首先给出了阶为二倍的两个不同的奇素数乘积的连通3度对称图的分类,该结果和Feng等[J.Combin.Theory B,97(2007)627-646;J.Austral.Math.Soc.A,81(2006)153-164]的结果一起完成了阶为三个素因子的乘积的连通3度对称图的分类;其次,我们还给出了阶为三个素因子的乘积连通3度点传递的非Cayley图的分类;最后,通过决定2pq阶连通3度Cayley图的正规性,我们给出了2pq阶连通3度非对称Cayley图的分类,其中p,q为两个不同的奇素数.这样,本章完成了2pq阶连通3度点传递图的分类.在第四章,我们分类了M(o|¨)bius-Kantor图(即广义Petersen图GP(8,3))的边传递循环正则覆盖.作为应用,给出了16p阶3度对称图的分类,其中p为任一素数.第五、六、七章是关于具有某种对称性质的小度数图的分类的.第五章给出了二倍无平方因子阶的3度1-正则图的分类.第六章给出了2pq阶4度1-正则图的分类,其中p,q为任意素数.第七章给出了p4阶4度半传递图的分类.在第八章,我们研究了5度对称图的点稳定子群.给定图X,设G≤Aut(X),s≥1为整数.若G在X的s-弧集合上传递但在(s+1)-弧集合上非传递,则称图X为(G,s)-传递的;特别地,称(Aut(X),s)-传递图X为s-传递图.对任一连通5度(G,s)-传递图X,令Gv为顶点v∈V(X)在G中的点稳定子群.Weiss在文献[Math.Proc.Camb.Phil.Soc.,85(1979)43-48]中证明若Gv可解,则s≤3.在第八章,我们进一步证明当s=1时,Gv同构于Z5,D10或D20;当s=2时,Gv同构于Frobenius群F20或F20×Z2;当s=3时,Gv同构于F20×Z4.利用该结果,我们还证明了所有非交换单群上的连通5度1-传递Cayley图都是正规的.第九章是关于正则地图的.设p和q为素数,Du等在文献[J.AlgebraicCombin.,19(2004)123-141]中分类了以pq阶简单图为基图的正则地图.在第九章,我们分类了以4p阶简单图为基图的正则地图.这些地图包括12个零散的地图和六个无限类,其中两个无限类为以完全二部图K2p,2p为基图的正则地图,另外四个无限类分别为群Z4p,Z22×Zp和D4p上的正则平衡Cayley地图.最后两章是关于地图计数的.Mull等在文献[Proc.Amer.Math.Soc.,103(1988)321-330]中给出了一个地图的同构类的计数方法.利用该方法,他们计算了以完全图和轮图为基图的地图的同构类的个数.Mull在文献[J.Graph Theory,30(1999)77-90]中进一步发展了这个方法,并得到了以完全二部图为基图的地图的同构类的计数公式.在第十章,我们将Mull等的方法推广到允许有环和重边的连通图上,并给出了以两类著名图类:环束和双极图为基图的地图同构类的计数公式.称地图M为可反射的,若它同构于它的镜面影象.在第十一章,我们给出了可反射地图的同构类的一个计数方法,并将该方法应用到了完全图、环束、双极图和轮图等著名图类中.进一步,我们还证明了这些图的地图‘几乎’都是非可反射的,即为手性的(当顶点个数无限增长时).