本文主要研究群论在图论中的应用，内容主要涉及到代数图论（第二章至第八章）和拓扑图论（第九章至第十一章）两个研究领域．第一章是引言部分，主要介绍本文所要用到的一些有关群和图的基本概念，以及本文将要研究的问题、相关的背景知识和本文取得的相关成果．在第二章，我们给出了5度非正规Cayley图的两个充分条件．由此，构造了一些连通的5度非正规Cayley图的无限类，其中三类为非交换单群上的Cayley图．另外，我们还决定了A₅的所有连通5度非正规Cayley图，从而推广了徐明曜和徐尚进[Science in China A，47（2004）593-604]的关于A₅的连通3、4度Cayley图正规性结果．应用该结果，我们还决定了A₅的所有5度非CI Cayley图，而徐明曜等[Science in China A，44（2001）1503-1508]则证明A₅为4-CI群．在第三章，我们首先给出了阶为二倍的两个不同的奇素数乘积的连通3度对称图的分类，该结果和Feng等[J．Combin．Theory B，97（2007）627-646；J．Austral．Math．Soc．A，81（2006）153-164]的结果一起完成了阶为三个素因子的乘积的连通3度对称图的分类；其次，我们还给出了阶为三个素因子的乘积连通3度点传递的非Cayley图的分类；最后，通过决定2pq阶连通3度Cayley图的正规性，我们给出了2pq阶连通3度非对称Cayley图的分类，其中p，q为两个不同的奇素数．这样，本章完成了2pq阶连通3度点传递图的分类．在第四章，我们分类了M（o|¨）bius-Kantor图（即广义Petersen图GP（8，3））的边传递循环正则覆盖．作为应用，给出了16p阶3度对称图的分类，其中p为任一素数．第五、六、七章是关于具有某种对称性质的小度数图的分类的．第五章给出了二倍无平方因子阶的3度1-正则图的分类．第六章给出了2pq阶4度1-正则图的分类，其中p，q为任意素数．第七章给出了p⁴阶4度半传递图的分类．在第八章，我们研究了5度对称图的点稳定子群．给定图X，设G≤Aut（X），s≥1为整数．若G在X的s-弧集合上传递但在（s+1）-弧集合上非传递，则称图X为（G，s）-传递的；特别地，称（Aut（X），s）-传递图X为s-传递图．对任一连通5度（G，s）-传递图X，令G_v为顶点v∈V（X）在G中的点稳定子群．Weiss在文献[Math．Proc．Camb．Phil．Soc．，85（1979）43-48]中证明若G_v可解，则s≤3．在第八章，我们进一步证明当s=1时，G_v同构于Z₅，D₁₀或D₂₀；当s=2时，G_v同构于Frobenius群F₂₀或F₂₀×Z₂；当s=3时，G_v同构于F₂₀×Z₄．利用该结果，我们还证明了所有非交换单群上的连通5度1-传递Cayley图都是正规的．第九章是关于正则地图的．设p和q为素数，Du等在文献[J．AlgebraicCombin．，19（2004）123-141]中分类了以pq阶简单图为基图的正则地图．在第九章，我们分类了以4p阶简单图为基图的正则地图．这些地图包括12个零散的地图和六个无限类，其中两个无限类为以完全二部图K_2p,2p为基图的正则地图，另外四个无限类分别为群Z_4p，Z₂²×Z_p和D_4p上的正则平衡Cayley地图．最后两章是关于地图计数的．Mull等在文献[Proc．Amer．Math．Soc．，103（1988）321-330]中给出了一个地图的同构类的计数方法．利用该方法，他们计算了以完全图和轮图为基图的地图的同构类的个数．Mull在文献[J．Graph Theory，30（1999）77-90]中进一步发展了这个方法，并得到了以完全二部图为基图的地图的同构类的计数公式．在第十章，我们将Mull等的方法推广到允许有环和重边的连通图上，并给出了以两类著名图类：环束和双极图为基图的地图同构类的计数公式．称地图M为可反射的，若它同构于它的镜面影象．在第十一章，我们给出了可反射地图的同构类的一个计数方法，并将该方法应用到了完全图、环束、双极图和轮图等著名图类中．进一步，我们还证明了这些图的地图‘几乎’都是非可反射的，即为手性的（当顶点个数无限增长时）．