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四元数是继复数后又一新的数系,四元数体上代数是复数域上代数的扩展。然而,由于四元数乘法的不可交换性,造成了它与复数域上的代数理论既有一定的联系,又有很大的差别,形成相对独立的内容体系。近年来,四元数代数问题已经引起了数学和物理研究工作者的广泛兴趣。四元数体上代数问题的许多问题已经被研究,比如四元数体上的多项式、行列式、特征值和四元数代数方程组等。然而,四元数体上许多代数问题还需要人们进行进一步的研究,比如四元数矩阵特征值的估计与对角化、四元数矩阵的广义特征值分布与估计、四元数右线性方程组解的扰动性估计问题、四元数矩阵的次亚正定性问题、四元数矩阵方程的可解性问题等等。本文较为系统地分析了四元数体上一些重要的代数特征,主要内容和创新点包括:1.在四元数体上根据特征值的基本概念,将复数域上著名的Gerschgorin圆盘定理推广到四元数体上。由于四元数乘法的不可交换性,得到两种形式的四元数矩阵特征值分布定理,研究了四元数体上严格对角占优矩阵特征值的一些性质。同时给出了四元数矩阵广义特征值的定义,讨论了四元数矩阵左右广义特征值的性质,得到四元数正则矩阵束的广义特征值为实数的结论。获得了估计四元数矩阵广义特征值的Gerschgorin型定理,利用广义瑞利商这一有效的工具,获得了四元数矩阵广义特征值的上下界估计定理。2.对四元数矩阵的对角化进行研究,获得了四元数矩阵可对角化的充要条件,并指出了四元数矩阵的对角化与实(复)数域上矩阵对角化的区别,说明了四元数体上的矩阵性质与实(复)数域上矩阵性质的差异。3.本文在谱半径概念的基础上,讨论了谱半径的估计。4.借助于四元数向量和四元数矩阵的范数理论解决了四元数矩阵求逆、线性方程组的误差估计问题。5.对于次对角线方向上的情形,即四元数体上次亚正定矩阵,本文也作了一些研究,得到一些重要结果。6.矩阵的Kronecker积是一种重要的矩阵乘积,由于四元数乘法的不可交换性,因此,四元数矩阵的Kronecker积性质有所不同于实(复)数矩阵的Kronecker积性质。利用四元数矩阵的Kronecker积这一有效的工具,研究了Lyapunov四元数矩阵方程与Stein四元数矩阵方程的可解性问题。