物理模拟是科学研究与工业制造中的一种重要技术。它以物理定律为基础，通过合适的离散化方法在计算机中对真实的物理过程进行仿真重现。在实际应用中，复杂的模拟对象通常会使计算效率十分低下，严重影响了模拟算法的实用性。
　　在经典的有限元方法中，计算效率会受到多种因素的制约，例如网格的采样密度、单元的质量和本构方程的函数形式等。从数值指标上看，这些因素分别影响着系统的规模、频谱条件和非线性程度，而这些方面则直接决定着模拟算法的数值性能。更为糟糕的是，除了上述提到的因素外，物体本身材质的非均匀性还会进一步地从各个方面恶化传统有限元的模拟效率，导致难以承受的计算代价。
　　为了解决传统有限元效率不佳的问题，本文以异质弹性模拟的高效计算作为切入点，围绕离散力学系统的数值均质化展开研究。核心思路是对细粒度的系统进行充分且有效的简化。由于系统的自由度在简化之后会大量减少，而为了保持模拟精度，粗粒度的计算模型应当具备更强的表达能力。考虑到均质化方法的可拓展性，本文在技术上选择以更底层的有限元基函数来作为均质化系统构建的核心，创新性地引入了更加普适的矩阵基函数。根据不同尺度上的物理特性，矩阵基函数的形态能够相应地进行调整，以保证均质化后的系统在规模缩减的同时依然具备出色的近似效力。在一方面，这种多尺度结构提高了模拟算法对于问题规模的伸缩性；另一方面，相应的多频段特征分解也能够使系统的频谱条件得以充分优化。结合一些线性化技术，相关方法还可以处理一般的非线性弹性模拟。
　　综上，本文利用矩阵基函数的均质化，试图从不同角度全面地解决非线性异质弹性模拟中的效率瓶颈，主要贡献可总结如下：
　　?本文首先弱化了对系统做大幅简化的要求，更关注于均质化方法对非线性系统的处理。针对中等规模的非线性弹性问题，本文提出了一种基于矩阵基函数的双层均质化方法。在数学上，该方法精确定义了矩阵基函数的参数化形式，有效地提升了粗粒度计算模型的表达能力。在局部标架的作用下，相关的基函数具有坐标不变性，因此可以方便地拓展到一般非线性弹性的处理中。在此基础上，该方法识别出了一系列关键的几何、物理条件和正则约束来优化粗尺度基函数的形态。这样的方式不仅在一定程度上降低了原有问题的规模，也充分保持了粗粒度系统对异质弹性行为的刻画能力，并隐式地改善了系统的频谱条件。但是该方法只考虑了两层的均质化结构，所以在简化大规模问题和改善病态系统条件等方面的能力都比较有限。
　　?针对上述方法存在的缺陷，并考虑到非线性系统的多尺度结构可能极端复杂，本文因而面向线性系统进一步提出了一种大幅度、多层次的均质化方法。该方法继续以矩阵基函数为基础，利用函数空间的多分辨率正交分解构造出了具有材质适应性的多尺度基函数。配合弱化的局部支撑条件，所得基函数能同时具备一定的空间局域性和频谱局域性。除了能够方便地对均质化的粒度和精度进行调控，充分的多频段特征分解还保证了算法优异的可伸缩性。虽然能够大幅且准确地简化线性弹性问题，但相关基函数在一般非线性问题上的拓展存在一定的困难。
　　?为了结合前两种方法各自在处理非线性和大规模问题上的优势，本文继续以多分辨率分解为工具，试图加速相应的层次结构计算，来使之能够适用于非线性问题的迭代求解。出于这样的目标，本文基于Cholesky分解、重新表述了自适应层次结构的构造算法，形成了更加高效的计算模式。此外，考虑到平衡更新速度与收敛率对于非线性迭代的重要性，本文进一步利用非完整的Cholesky分解作为技术手段，在精度与速度的矛盾之间形成了一个灵活的折中，也为多分辨率方法在一般非线性问题上的有效应用提供了可能。
　　综上，这些方法在理论上极大地加深了领域内对异质弹性问题背后多尺度特征的认识，同时也能在实际应用中大规模地提升异质弹性的模拟性能。