小波分析是二十世纪八十年代后期迅速发展起来的一门新兴数学分支，它是在傅里叶变换基础上发展起来的一种新的时频分析方法，在信号分析、图像处理与模式识别等领域中已广泛应用。图像去噪是图像处理中的经典问题之一，数字水印是信息隐藏技术领域的重要分支。目前常用的小波有实离散小波变换（DWT）及复小波变换（CWT）等。四元数小波变换(QWT)是图像处理的一种新的多尺度分析工具，具有良好平移不变性，可以提供不同尺度的一个幅值和三个相位信息。本文主要研究了四元数小波变换的有关理论及其在图像去噪与数字水印中的应用。主要工作总结为如下几个方面：1.基于四元数代数，希尔伯特变换及传统小波的理论与方法，深入研究了四元数小波的有关概念与性质。首先给出并证明了希尔伯特变换中的有关标准正交基的性质，由此研究了四元数小波变换在空间L~2(R~2)中尺度空间和小波空间中的标准正交基，然后给出了空间L~2(R~2; H)中四元数小波基函数，四元数小波尺度函数的概念，进一步给出了离散四元数小波变换的概念，同时还研究了四元数小波变换的结构及滤波器构造等等。2.在传统小波图像去噪模型基础上，研究了四元数小波变换在图像去噪中的应用，给出了四元数小波变换域上的三个图像去噪模型与算法：（1）基于四元数小波变换的隐马尔科夫树模型的图像去噪；（2）基于四元数小波变换的非高斯二元分布的贝叶斯统计模型的图像去噪算法；（3）基于四元数小波变换的混合统计模型的图像去噪。实验表明：本文这些方法的去噪效果，无论在峰值信噪比还是在视觉效果上均优于许多经典的去噪算法。3.给出了基于四元数小波变换域的SAR图像相干斑抑制模型。对于SAR图像，在引进加性模型的基础上，通过四元数小波变换，利用改进的系数分类准则，把系数分为两类：重要系数和非重要系数，提出了改进的Donoho阈值和新的阈值函数，并用它处理重要系数，估计出不含斑的四元数小波变换系数，从而得到抑制了相干斑的SAR图像。对真实SAR图像进行相干斑噪声抑制实验，结果显示：本文的方法在抑斑效果和图像的细节保留上均优于目前的许多方法。4.给出了一种基于四元数小波变换和奇异值分解相结合的数字图像水印算法。该算法对原始载体图像进行四元数小波变换和奇异值分解，对水印图像进行Arnold变换和奇异值分解，然后把分解的水印嵌入到分解后的原始载体图像中。实验结果表明：该算法对高斯噪声、剪切、JPEG压缩及滤波具有较强的鲁棒性。