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本文主要用分歧理论、极小极大方法和同调环绕理论研究带有超线性项Vx(t,x)的二阶Hamilton系统(0.1) {-x-A(t)x=λx+Vx(t,x),x(0)=x(T),x(0)=x(T)周期解的存在性和多重性.这里T>0固定,A(t)是关于t连续和具T周期的N×N阶对称矩阵,V满足下列假设：
(V1) V∈C2(R x RN;R),关于时间变量t是T周期的.
(V2) V(t,0)=0,Vx(t,0)=0,Vx"(t,0)=0.
(V3) 存在r>0,θ>2使得0<θV(t,x)≤Vx(t,x)·x,｜x｜≥r.
(V4) V(t,x)≥0, t∈R,x∈RN;Vx"(t,x)>0,｜x｜>0充分小.
(V5) Vx"(t,x)<0,｜x｜>0充分小.
记ST=R/(TZ),V±(t,x)=max{±V(t,x),0}.线性特征值问题(0.2) {-x-A(t)x=λx,x(0)=x(T),x(0)=x(T)。
互异的特征值记为：λ1<λ2<…<λm<….
本文的主要结果是以下三个定理：
定理A设V满足(V1)～(V4),k≥1固定.则存在δ>0,使得当λ∈(λk+1-δ,λk+1)时,(0.1)至少存在三个非平凡T周期解.
定理B设V满足(V1)～(V3)(V5),k≥1固定.则存在δ>0,使得当sup V-(t,x)<δ,λ∈(λk+1,λk+1+δ)时,(0.1)至少存在三个非平凡T周期(t,x)∈ST×RN解.
定理C设V满足(V1)～(V3)(V5),k≥1固定.则存在δ>0,使得当sup V-(t,x)<δ,λ∈(λk+1-δ,λk+1]时,(0.1)至少存在两个非平凡T周期(t,x)∈ST×RN解.