自18世纪数学家欧拉所处的时代以来,人们对整数分拆理论的研究一直热情不减。该理论作为一个自成一体的独立数学分支,被不断发现它在其他数学分支中的应用,而包括Ramanujan同余式在内的著名结果又让它充满了传奇色彩。Catalan数可能是数学中无处不在的数字序列,Catalan数在组合数学,数论,代数,分析,几何,拓扑等领域有很多应用。关于经典Catalan数的推广不胜枚举。本文的主要研究对象为两类限制分拆,即2-着色分拆三元组和k-着色分拆,以及一类（7）q,t（8）-Catalan数。对于这两类限制分拆函数,我们得到了许多Ramanujan类型的同余式。对于k-着色分拆数,我们另外得到一些不等式。此外,利用禁模式排列,我们给出这类（7）q,t（8）-Catalan数若干种新的组合解释及其对应的gamma分解。本文主要分为以下七个章节:第一章,绪论。主要介绍数学背景,以及整数分拆和Catalan数的相关进展。另外,我们简要的描述本文各章的主要内容。第二章,对于分拆函数p_3,1（n）,p_3,3（n）,和p_3,9（n）,我们分别得到了若干组无穷族模3幂次的同余式。另外,我们得到了两组关于p_5,1（n）模5的同余式和三组关于p_25,1（n）模5幂次的同余式。这里,_kp,₃（n）计数所有n的2-着色分拆三元组的个数,其中一种颜色只能出现在k倍数的分拆部分上。第三章,对于k-着色分拆函数p_-k（n）,我们利用初等方法得到了一些模25的无穷族同余式。进一步地,对于k（28）2,6,和7,我们证明了很多Ramanujan模5幂次类型的同余式。第四章,受到Bessenrodt和Ono关于普通分拆函数的一个不等式的启发,对所有的整数k?2,我们得到了关于k-着色分拆函数p_-k（n）的一些不等式。第五章,对于k-着色分拆函数p_-k（n）,我们引入了一个广义奇异秩（k-奇异秩）。受到Andrews和Lewis以及Ji和Zhao工作的启发,我们得到了这种新定义的k-奇异秩的两个结果:我们首先对m（28）2,3,和4的情况得到了涉及M_k（7）r,m,n（8）的若干不等式;我们接下来对k（28）2和3的情况证明了偶数加权对称k-奇异秩矩的符号交错性。最后,我们提出了一个涉及M_k（7）m,n（8）的单峰性猜想。第六章,我们首先利用禁模式排列给出了一类（7）q,t（8）-Catalan数的若干新组合解释以及其对应的gamma分解。另一方面,对每个禁一个长度为3的模式的排列集合,我们得到了定义在上述集合上的（7）-1（8）-现象的一个完全刻画。利用这些新的gamma分解以及Shin和Zeng的一个五变元生成函数的连分式,我们进一步得到这些（7）-1（8）-现象对应的q-模拟。第七章,在本章我们主要对本文的工作进行一个梳理和总结,并且提出后续进一步研究的内容。