【摘 要】
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分数阶最优控制问题由于其在地下水污染等实际问题中的广泛应用,在理论模型和数值方法方面的研究得到了越来越多的关注.本文主要研究两类控制积分约束的空间分数阶最优控制问
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分数阶最优控制问题由于其在地下水污染等实际问题中的广泛应用,在理论模型和数值方法方面的研究得到了越来越多的关注.本文主要研究两类控制积分约束的空间分数阶最优控制问题的Spectral-Galerkin方法.首先,研究了如下Riesz分数阶微分方程最优控制问题:#12使得#12其中y是状态变量,u是控制变量,Uad为u的约束集,γ>0为正则化参数,Dα为Riesz分数阶导数.本文利用Lagrange泛函推导出一阶最优性条件,并讨论了最优控制问题的正则性.紧接着根据先离散后最优的原则,建立了控制问题的Spectral-G alerkin 离散格式.通过引入辅助问题,得到了关于状态变量、伴随变量和控制变量的先验误差估计,并通过几个数值算例验证了理论结果.其次,研究了如下带反应项的双边分数阶微分方程最优控制问题:(?)使得#12对上述控制问题,本文推导了连续一阶最优性条件,并在此基础上分析了对称情况(θ=0.5)时最优控制问题解的正则性.利用广义Jacobi多项式逼近状态变量和伴随变量,采用变分离散方法离散控制变量,针对对称(θ=0.5)和非对称(θ≠0.5)两种情况,分别建立了Spectral-Galerkin和Spectral Petrov-Galerkin离散格式.通过引入辅助问题,得到了先验误差估计.由于反应项的存在,离散状态和伴随状态方程的系数矩阵是稠密的,直接求解所需的计算量和存储量很大.因此本文给出了两种基于快速多项式变换的投影梯度算法.最后,通过几个数值算例验证了理论结果.
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