本文是燃气轮机工程和计算数学相结合的一篇论文,是一个跨专业跨学科的研究成果。燃气轮机和航空发动机有着极其广泛的应用,它们不仅是国防装备中的关键,而且在国民经济中的电力、能源开采和输送、分布式能源系统领域具有不可替代的战略地位和作用。动力学是燃气轮机和航空发动机的重要理论基础。燃气轮机中发动机的动态特性、压气机和涡轮通流部分的非定常场流动、高温部件冷却过程的非定常传热传质过程、燃烧室中与燃烧相关的化学物理过程……都涉及动力学的问题,这些重要过程的合理组织都必须在动力学指导下进行。动力学又是数学家高度重视而为之做出贡献的领域,为了用“科学计算”解决动力学问题,他们把长期在牛顿力学系统中展开的动力学问题转到Hamilton力学系统,构造合适的辛几何算法,从而提高“科学计算”的有效性和可靠性。本文根据燃气轮机动力学问题（工程热物理范畴）的需要,在Hamilton力学系统表达中,利用有限元方法离散框架,设计求解Hamilton系统的新型高精度算法。数值求解线性Hamilton系统的诸多辛算法虽然可以保证系统的结构特性,但仍存在较大的相位误差和能量误差。本文针对线性Hamilton系统提出“无相位误差加权间断时间有限元方法（WDG-PDF）”。WDGPDF方法利用间断时间有限元方法在节点不连续的特性,设计可以保证无相位误差的加权权重,并通过对传递矩阵的处理实现算法保辛。本文给出了WDG-PDF方法保辛和无相位误差证明。WDG-PDF方法在保辛和无相位误差的同时,数值上Hamilton函数误差达到计算机舍入误差量级。因此对于线性Hamilton系统,无相位误差加权间断时间有限元方法是最优的选择。本文针对非线性Hamilton系统,提出“自适应时间有限元方法（ATFEM）”。近年来自适应高效算法在求解动力学问题中得到广泛应用,但是现有的自适应算法求解Hamilton系统往往不能保证Hamilton系统的固有特性（能量守恒、辛结构等）。A-TFEM方法利用时间有限元方法的后验误差估计,设计自适应指标Θ,当自适应指标Θ大于预设的误差范围上界,则缩小计算步长;当自适应指标Θ小于预设误差范围下界,则增加计算步长。本文给出了A-TFEM方法的保能量以及保辛特性的证明,从理论上证明算法的保能量及高精度保辛性质。选取具有典型意义的非线性Hamilton系统,利用A-TFEM方法进行数值仿真,数值实验验证了理论分析结果。燃气轮机动态过程的计算长期在牛顿力学系统中进行,本课题组将该问题纳入Hamilton力学系统进行表述。研究表明上述“A-TFEM方法”非常适合于燃气轮机动态过程的数值计算,明显地提高计算效率。数值结果显示“A-TFEM方法”较以前求解该模型的“FSJS算法”在能量守恒以及计算精度上都有较大的改进。燃气轮机工程中的许多动力学问题必须用偏微分方程来描述,最典型的就是流动的控制方程——Navier-Stokes方程。数学家做了大量的研究工作,构建了诸多数值求解模型和算法。为了避免数值求解NavierStokes方程中遇到的鞍点问题,数学家提出了不同的解耦方法。Gauge方法是基于Navier-Stokes方程的Hamilton形式而发展的著名的解耦算法,然而Gauge方法在计算实践中还存在不少有待解决的问题。针对Gauge方法的诸多问题本文提出了“改进Gauge方法（MGM）”,MGM方法是Navier-Stokes方程数值求解格式上的创新。本文一方面给出了MGM方法稳定性分析和速度及压力的误差估计,即从理论上证明算法的有效性;另一方面,利用MGM方法计算了流体力学中的经典模型,数值实验验证了理论分析结论。MGM方法不仅适用于Navier-Stokes方程,而且可推广应用到更复杂的偏微分方程,例如Boussinesq方程。