本文的主要工作是:首先,利用同伦摄动法给出几类分数阶微分积分方程的近似解,表明同伦摄动法对于分数阶微分积分方程的求解是有效可行,减少了计算的复杂程度,而且得到的结果与Adomian分解法和Fourier变换法等其他方法的结果是一致,从而进一步推广了同伦摄动法的应用范围;其次,借助于分离变量法和同伦摄动法,得出几类分数阶微分积分方程分别在齐次和非齐次混合边界条件下的解析解,并且可以表示成显式级数形式,具体内容如下:1.在给出Caputo分数阶积分和Caputo分数阶微分定义的基础上,研究了用同伦摄动法求解分数阶微分积分方程我们将分数阶微分积分方程写成如下形式以及边界条件其中A为微分积分算子,B为边界算子,f(r)为已知函数,Γ是区域Ω的边界。一般地,A可以分为两部分C和R,对分数阶常微分方程,取C=1,R为A的其余部分,对分数阶偏微分方程,C取Caputo微分算子,R为A的其余部分。从而(1)可改写成C(u)+R(u)-f(r)=0.然后引入同伦H(v,p)=(1-p)[C(v)-C(u0)]+p[A(v)-f(r)]=0,p∈[0,1],r∈Ω,从而得出级数解。2.考虑分数阶方程混合边值问题的求解问题,借助于变量分离技巧和同伦摄动法,得到时间分数阶电报方程在齐次和非齐次边界条件下的解析解。