本文研究单穿孔环面的相对Teichmuller空间上的一个最小化问题;具体地,研究单几何边界分支的双曲环面上的一对相交的简单闭测地线在环面的双曲结构任意改变但几何边界信息保持不变的情况下所取得的最小相等长度,以及具有相同相交数的不同简单闭测地线对的最小相等长度的比较问题.特别地,相交数等于1的简单闭测地线对的最小相等长度问题对应于双曲几何中著名的颈圈引理.通过分析计算机实验数据,我们提出如下猜想.斜率1/n最短猜想:在具有固定的几何边界信息的任何单穿孔环面上的所有几何相交数等于n（≥5）的简单闭曲线对之中,斜率为{1/0,1/n}的那对简单闭曲线的相等长度的最小值小于其他与之拓扑不等价的曲线对的相等长度的最小值.第一章,我们介绍本文研究的主要问题及取得的主要结果.第二章,我们陈述所需要的关于双曲曲面特别是双曲环面的基本知识.第三章,我们构造两个递归定义的变量为有理数且取值为整数的函数,并研究它们的基本性质,例如整数值平移不变性与奇偶性.我们找到与它们相关的按连分数展开的传递型恒等式,还得到了我们所需要的关于这两个函数的一些估值.实际上,这类函数本身具有独立的研究价值.第四章,我们研究双曲环面上的简单闭测地线对的最小相等长度（最小相等迹）的基本性质.首先,我们证明最小相等长度（最小相等迹）在其相对Teichmuller空间中的唯一点处取得.进一步,利用拉格朗日乘子法,我们将求解一般的斜率对的最小相等迹的取值点问题转化为解某个多项式方程组.第五章,我们对斜率1/n最短猜想进行初步研究.我们说明计算机实验数据支持猜想成立,并对于相交数n ≤ 20给出实验数据图;此外,对于相交数n=5的情形,我们证明猜想成立.第六章,我们确定当几何边界长度趋于无穷大时,对称型斜率对的最小相等迹的无穷大的阶,并证明对于对称型斜率对及固定的相交数n,当边界长度充分大时斜率1/n最短猜想成立.第七章,我们研究最小相等迹在渐近退化情形（即锥角充分靠近2π）的性质.首先,利用关于复代数曲线的Puiseux定理,我们证明最小相等迹在渐近退化情形可表示为某个收敛半径大于0的幂级数;利用第三章中所定义的有理数变量的整数值函数,我们得以确定平移的迹多项式的三次项的所有十个系数,从而确定前述幂级数的三次项系数;最后,在此基础上我们证明斜率1/n最短猜想在渐近退化情形成立,并得到了更多的信息.