【摘 要】
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Schr（?）dinger算子出现在量子力学、声学、化学、工程力学、地球物理学、电子学及气象学等自然科学领域中,其应用极为广泛.本文研究Schr（?）dinger算子的逆谱与逆散射问题,旨在由其谱数据或散射数据确定Schr（?）dinger算子的未知源.第一章介绍Schr（?）dinger算子的物理背景和应用前景,综述国内外有关Schr（?）dinger算子谱及散射等理论的研究现状,以及总结本论文
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Schr（?）dinger算子出现在量子力学、声学、化学、工程力学、地球物理学、电子学及气象学等自然科学领域中,其应用极为广泛.本文研究Schr（?）dinger算子的逆谱与逆散射问题,旨在由其谱数据或散射数据确定Schr（?）dinger算子的未知源.第一章介绍Schr（?）dinger算子的物理背景和应用前景,综述国内外有关Schr（?）dinger算子谱及散射等理论的研究现状,以及总结本论文主要工作和创新点.第二章给出一些记号、复分析的相关知识和Schr（?）dinger方程解的性质.第三章研究区间[0,1]上在中点处具有不连续条件的Schr（?）dinger算子逆谱问题.运用Hadamard分解定理和Phragmén-Lindel（?）f定理证明了:若势函数在[b,1]上（6 ≥1/2）已知,则其两组谱（或N组谱,N≥2）中部分特征值可以唯一确定势函数及边界条件参数和不连续条件参数;若6<1/2,则其一组谱中部分特征值可以唯一确定势函数和部分未知参数.第四章研究半直线上带有Robin边界条件的Schr（?）dinger算子逆特征值问题.证明了—类特殊的特征值集可以唯一确定势函数,并且运用幂级数解析延拓法和Gelfand-Levitan方程给出势函数的重构算法.第五章研究一类具有紧支撑势函数（设支撑为[0,1]）的Schr（?）dinger算子的逆共振问题.关于半直线情形,证明了若势函数部分信息已知,则仅需部分共振和特征值即可得到确定势函数的唯一性,并且给出了所需要的特征值比例与给定势函数的区间长度的关系.关于全直线情形,证明了:（1）若势函数在半区间[0,1/2]上已知,则所有特征值和共振能唯一确定势函数;（2）若势函数在[0,a]上（a>1/2）已知,则仅需部分特征值和共振即可得到唯一性;（3）若势函数在[0,a]上（a<1/2）已知,则所有特征值和共振及部分符号集可以唯一确定势函数;（4）所有特征值和共振以及对应的特征函数和波函数在区间中点处的对数导数值可以唯一确定势函数.第六章研究矩阵型Schr（?）dinger算子的逆散射问题.关于半直线情形,证明了散射数据（即束缚态数据和散射矩阵）唯一确定自伴矩阵型势函数和边界条件中的酉矩阵.进一步,证明了若势函数指数衰减足够快或在区间（a,∞）上（a>0）已知,则仅由散射矩阵可以唯一确定势函数和边界条件中的酉矩阵.关于全直线情形,证明了若势函数指数衰减足够快或在（-∞,b）(或（b,∞）上已知,则仅由左（或右）反射系数可以唯一确定自伴矩阵型势函数.另外,也研究了非紧星图上的逆散射问题:当星图仅含有一条有限边时,给出关于缺失部分束缚态数据的唯一性定理和重构算法;当星图含有多条有限边时,给出确定整个图上势函数的唯一性定理和重构算法.
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