Bregman优化方法是当前算法理论中重要的研究课题,它的出现促进了算法理论的发展。这种方法已广泛应用在优化算法问题和非线性算子的不动点计算等各个方面的研究中。Bregman优化方法以凸分析、优化理论为基础,而且算法与这些理论相结合也促进了凸函数理论的深入研究与发展。在本论文中,我们研究了与Bregman优化方法有关的概念及其性质,以及以这些概念和性质为基础,将这种方法应用于Banach空间中的某些类型的算子(具有Bregman单调型性质的算子)的优化算法。 完全凸函数是Bregman优化方法的基本概念,把函数的完全凸性应用于算法的设计与收敛分析中是这类算法的一个重要支点。我们考虑完全凸函数及其它函数类(一致凸函数和一致光滑函数)的性质,且在完全凸概念下考察了算子(特别是那些它们的预解算子是条件非扩张的且有Bregman单调型性质的算子及Bregman投影算子等)的性质,并将这些函数类和算子的性质用于设计Bregman优化算法以及讨论算法的收敛分析。 首先,我们使用完全凸函数研究集值映射的连续选择的存在性,以及在较弱意义下讨论了函数的完全凸性与一致凸性的等价性。我们给出函数的在有界集上的一致光滑性的特征.我们引入凸函数的局部一致完全凸的概念,讨论它的性质并将这些性质应用到在某些优化问题中使人感兴趣的算法中。我们引入局部一致完全凸Banach空间,并给出Banach空间的局部一致完全凸性的等价刻划。而且,优化问题中的某些集值算子和单值算子的零解及不动点的存在性、变分不等式问题的解的存在性也被讨论。 其次,我们在具有特定几何结构的Banach空间中使用函数‖·‖2的几何性质研究Bregm-an优化算法.具体地,为在一致凸、一致光滑Banach空间X中找问题0 ∈ T(ν)的解,这里T:X →X*是一个最大单调算子。我们研究了最大单调算子的逼近点算法的改进。在控制参数的适当假设下,我们讨论了算法的强或弱收敛性并估计了算法的收敛速度,以及这一算法对于凸优化问题的应用。另外,考虑有约束的混合型问题,即,在上述Banach空间X中找一个ν∈T-1 0 ∩ F-1 0 ∩ C,这里T是集值的、最大单调的,C C X是非空闭凸子集,并且F:X→X*是单值的、逆单调的或它的预解Fa是强非扩张的,我们也研究了算子F的外梯度方法与算子T的逼近点算法的一个杂合方法.在某些关于算子和参数的适当的假设下,我们证明了这种杂合迭代具有弱收敛性,即,所构造的迭代序列弱收敛到上述交集中的一点。