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二十世纪二十年代，芬兰著名数学家R.Nevanlinna建立了Nevanlinna理论。即Nevanlinna第一基本和第二基本定理.它是二十世纪最重要的数学成就之一，也是复分析理论研究的重要工具.半个多世纪以来，Nevanlinna理论在不断发展完善，而且还被广泛应用在复微分方程震荡理论、亚纯函数唯一性理论等诸多理论的研究中。涉及公共值的亚纯函数的唯一性理论的研究起源R.Nevanlinna的一些研究工作(参见[32])，其中R.Nevanlinna利用他建立的第一基本和第二基本定理得到的著名的Nevanlinna五值定理和Nevanlinna四值定理，为亚纯函数唯一性理论的研究奠定了基础。
二十世纪五十年代末与六十年代初，我国老一辈数学家熊庆来和杨乐等在这方面取得了一些深刻的结果.二十世纪八十年代，著名数学家F.Gross、G.G。Gundersen、M.Ozawa、G.Frank、E.Mues、N.Steinmetz、W.Bergweiler、仪洪勋等人在亚纯函数唯一性理论研究方面取得了许多重要的研究成果。1995年仪洪勋解决了20多年悬而未解的Gross问题，为亚纯函数唯一性理论的发展起了推动作用(参见[24][33])。
近几年来，Yik-Man Chiang、Shao-Ji Feng、R.G.Halburd、R.J.Korhonen、I.Laine等人建立了涉及差分Nevanlinna特征理论，差分多项式的基本理论和对数导数的差分模拟，为研究差分方程解的性质和差分唯一性理论奠定了基础(参见[6-8]，[16-17])。
本文介绍作者在李效敏副教授的精心指导下所完成的一些研究工作.全文共分三章。
第一章，主要介绍经典的Nevanlinna理论和差分Nevanlinna理论以及主要概念，常用记号。
第二章，主要研究了整函数及其差分算子CM分担一个慢增长整函数的唯一性问题，研究了刘凯和杨连中论文[19]中的一个问题.主要定理如下：
定理1设f是非常数整函数，其级ρ(f)<2.η是非零复数，a是不恒等于零的整函数，满足ρ(a)<ρ(f)，λ(f-a)<ρ(f).则f-a与△nηf-a CM分担0当且仅当f(z)=a(z)+B[n∑j=0(nj)(-1)n-j a(z+jη)-a(z)]eAz且△2nηa(z)-△nηa(z)=0，其中A，B为非零常数且eAn=1。
定理2设f是非常数整函数，P是不恒等于零的多项式且η是非零复数.且λ(f-P)<ρ(f)<2则f-P与△nηf-P分担0 CM当且仅当f(z)=P(z)+B[n∑j=0(nj)(-1)n-jP(z+jη)-P(z)]eAz且△2nηP(z)-△nηP(z)=0，其中A，B为非零常数且eAη=1。
第三章，主要研究了亚纯函数与其差分算子分担三个值的唯一性问题，所得结果改进了J.Heittaokangas，R.Korhonen，I.Laine和J.Rieppo等人在文章[11]中的相应定理。
定理3设f是有穷级的非常数的亚纯函数，η是非零复数.若f与△ηf CM分担a1，a2，a3，其中a1，a2，a3是扩充复平面上的三个判别值，则2f(z)≡f(z+η)。