【摘 要】
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偏微分方程作为当代数学中的一个重要的组成部分,是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁.Gellerstedt方程是一种重要的偏微分方程,本文主要研究了 Gellerstedt算子的局部基本解、Gellerstedt算子在上半平面的Green函数以及Dirichlet边值问题解二阶导数的加权估计.首先,考虑Gellerstedt算子G=tlΔx+（（?）~2）/（（?）t
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偏微分方程作为当代数学中的一个重要的组成部分,是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁.Gellerstedt方程是一种重要的偏微分方程,本文主要研究了 Gellerstedt算子的局部基本解、Gellerstedt算子在上半平面的Green函数以及Dirichlet边值问题解二阶导数的加权估计.首先,考虑Gellerstedt算子G=tlΔx+（（?）~2）/（（?）t~2）,t>0,x=(x1,,xn-1),l>0,在退化线t=0邻近的基本解,设t0>0,x0∈Rn-1,利用变换将点（x0,t0）邻近的区域U0转化成点（y0,1）,y0∈Rn的邻近区域V0,同时将算子G转化成V0上系数解析的一致椭圆算子,利用F.John关于解析函数椭圆算子基本解的结论,论文得到算子G在区域U0上的局部基本解.其次,研究n=2时Gellerstedt算子G=yl（（?）~2）/（（?）x~2）+（（?）~2）/（（?）y~2）,l≥0,在上半平面R+~2={（x,y）∈R~2,y>0}的Green函数K,即K是算子在R+~2上的基本解,在R+~2的边界上为0.最后,考虑n=2时Gellerstedt方程在上半空间上的Dirichlet边值问题:（?）得到Dirichlet边值问题解二阶导数的加权估计.
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