第一代小波变换和Fourier变换及其相关理论有着紧密的联系。传统的Fourier变换理论是一种纯粹的频域分析方法,在时域上不具备分辨能力,信号在经过Fourier变换后不能得到局部时域的频率特征。为了提取Fourier变换的局部信息,Gabor引入了Gaussian函数作为时域局部化的窗函数,在Gabor变换的基础上发展起来的短时Fourier变换(又称加窗Fourier变换)中的窗函数并不局限于Gaussian函数,这在一定程度上保证了计算的有效性和实现的便捷性。小波变换克服了短时Fourier变换在时频平面上分辨率不变的缺点,具有强大的时频局部化能力。 随着20世纪60年代中期以来数字信号处理理论的快速发展,尤其是之后滤波器组理论的逐渐成熟,小波变换与滤波器组理论的内在联系得以发现。例如,当全频带等分为2个频带时,子带编码分解过程的计算公式和双正交离散小波变换的Mallat分解公式是完全相同的,其综合过程的计算公式和双正交离散小波变换的Mallat重构公式是一致的。因此,我们考虑从滤波器组理论的角度对小波变换的相关问题展开研究。 本文的创新工作如下: (1) 小波系统的演化优化。在分析了小波系统性能指标的基础上,选择互冗余度作为待优化的性能指标,并对一类广义插值小波系统进行演化优化。在得到广义插值小波互冗余度的参数化表示后,将参数化表达式定义为适应值函数并用遗传算法求其最小值。演化优化后广义插值小波的互冗余度更小,因此小波系统的性能也更好。 (2) 基于滤波器组的小波构造。分析了准确重建滤波器组的双正交性:2×2综合调制矩阵和分析调制矩阵的行与其逆阵的列是双正交的,并且双正交性在交换矩阵乘积顺序后依然保留。在此基础上利用消失矩条件的约束,基于准确重建滤波器组构造了一类新的双正交小波并在紧支撑区间上得到了尺度函数、小波函数、对偶尺度函数和对偶小波函数的图形。 (3) 构造滤波器组的提升格式的参数化。给出了基于提升方法构造双通道滤波器组的两种设计准则,即高通滤波器幅频响应的最小均方误差准则,以及低通滤波器幅频响应的最小均方误差准则。推导了四类构造线性相位PR滤波器组的提升格式的参数化表示,即第一种设计准则下的EE情形和OO情形,第二种设计准则下的EE情形和OO情形。