比例边界有限元法(SBFEM)是近年来提出和发展的一种半解析数值方法,它结合了有限元法和边界元法的优点,只需对计算域边界进行数值离散,减少了一个空间维数;在没有离散的径向方向利用解析的方法求解,具有较高的计算精度。运用SBFEM进行计算时,不需要基本解,不存在奇异积分问题;而对于无限域问题,不需要人为引入截断边界,能够自动满足无穷远处的边界条件。SBFEM已成功地应用于固体力学领域,最近又求解了一些流体力学问题,有着很大的应用空间。SBFEM求解Poisson方程边值问题时,不存在体积分,而且可以精确处理无限域问题,与有限元法和边界元法相比,具有很大的优势。但是,目前该方法对Poisson方程右端项有特殊的要求,限制了其在Poisson方程边值问题上的应用范围。此外,SBFEM目前只能求解线性问题,依然处于发展之中,需要进一步研究。本论文先后引进了切比雪夫多项式逼近和同伦分析方法,对SBFEM进行了改进和发展。首先,引进切比雪夫多项式逼近,对SBFEM进行了改进,同时还提出了一种更为高效的求解技术,并运用改进后的方法求解若干Poisson方程边值问题。计算结果表明改进后的方法同样保持了高精度的优点,而且大大拓宽了SBFEM所能求解的Poisson方程边值问题的范围,具有广泛的应用前景。其次,引进一种求解强非线性问题的解析方法――同伦分析方法,并与改进后的SBFEM相结合,提出了一种新的求解非线性边值问题的半解析数值方法――基于同伦的SBFEM。该方法既保持了半解析数值方法的优点,又可以将SBFEM应用于求解非线性问题。本论文运用该新方法求解了一个二维Poisson型非线性边值问题,验证了该方法求解非线性边值问题的可行性和有效性。快速多极子边界元法(FMBEM)是最近发展起来的一种能够快速计算的数值方法,它克服了传统边界元法计算效率低下、存储量大的缺点,适合于求解大规模问题。本论文还运用该方法求解了海洋工程中圆柱体波浪绕射问题和水下三维复杂结构物附加质量计算问题,充分展现了该方法高效、低存储以及高精度的特性,证明了FMBEM在求解海洋工程中超大规模数值问题中具有巨大的潜力。本论文的主要创新点为:(1)首次运用切比雪夫多项式逼近,对SBFEM进行了改进,使其能够求解具有复杂右端项的Poisson方程边值问题,扩大了SBFEM的解题范围。(2)首次将同伦分析方法与SBFEM结合起来,提出了一种新的求解非线性问题的半解析数值方法――基于同伦的比例边界有限元法。该新方法克服了传统比例边界有限元法仅能求解线性问题的局限性,大大地拓宽了比例边界有限元法的应用领域,为求解非线性工程问题提供了一条有效途径。(3)应用FMBEM成功求解了海洋工程中大规模势流问题,边界离散单元数目已高达十万,而所需的计算时间仅在一个小时以内,证明该方法在求解海洋工程大规模势流问题中具有广泛的应用前景。