【摘 要】
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小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域,在数值分析、信号处理、图像处理、量子场论等众多领域中有着广泛的应用.微积分方程的理论和数值解是数学学科的研究方向,起源于
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小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域,在数值分析、信号处理、图像处理、量子场论等众多领域中有着广泛的应用.微积分方程的理论和数值解是数学学科的研究方向,起源于物理问题,是描述物理问题的重要数学工具,静电学、弹性力学、电磁场理论、辐射学等学科中,许多数学问题的解决可化为求解对应的微积分方程.小波具有正则性、消失矩、短支集等特点使得小波在化简方程时形成稀疏矩阵,给数值计算带来快速有效的方法.本文首先介绍了小波分析的背景、早期小波发展以及当前小波应用研究工作的方向,同时介绍了全文的组织结构.从Fourier分析开始,介绍了小波分析的基本理论,包括小波的本质,连续小波变换,离散小波变换,多分辨分析,尺度函数与小波函数的构造等内容.其次介绍了积分方程和微分方程的历史、分类、常用的数值算法以及近年来小波数值解在微积分方程中的应用.最后研究了应用Haar小波数值法,求解线性与非线性Fredholm积分方程以及应用Shannon小波函数逼近法求解微分方程的初边值问题,实验算例表明了Haar小波数值法的高精度及Shannon,小波函数逼近法的有效性.
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