双曲型方程模型在自然科学方面有着广泛的应用背景，如在油气勘探工作中，地震勘探是一种很重要的方法，因为它不仅可以提供沉积覆盖地区有关地下地质、地层、岩性等方面的信息，而且工作效率高。地震勘探方法是在地表某测线上，在浅井中用炸药震源人工激发地震波，从地震记录中就可以提取与地质构造、地层岩性等有关的信息，从而有利于更准确地寻找油气层。该问题的模型就可体现为对非线性双曲型方程的研究。现在地震勘探正进一步向高信噪比、高分辨率、高保真度、高精度的方向发展，但是由于其复杂性，还需要在理论、方法和实用问题上进行探索。这些研究结果对于油气资源的勘探、开发，环境科学的数值模拟和计算，以及在寻找地热资源及水文工程、城市建设、地壳测深等工作中有重要的应用价值。在现代数值方法中最早为人们所注意且理论分析完善的是有限差分法，但它在处理第二、三类边值问题时不够方便。为此Courant[1]，冯康[2，3]等开始研究用有限元方法求解偏微分方程。对双曲型方程有限元方法的研究工作主要有[4-9]。Dupont[4]，Oden[5]等人主要研究了线性双曲型方程有限元法的收敛性。袁益让、王宏等深入开展了非线性双曲型方程有限元方法的理论研究：在[6]中研究了拟线性双曲型方程的稳定性和收敛性，[7]和[8]分别讨论了非线性双曲型方程半离散和全离散有限元方法的理论分析，在[9]中则讨论了非线性双曲型方程组的全离散有限元方法的理论分析，这些研究成果都为以后的工作打下了重要基础。有限元方法虽然具有高精度的优点，但是在处理高维问题时计算很复杂，因此为求解多变量的复杂问题，出现了交替方向法，可以把多维问题降维，分解成连续解几个一维问题。1971年，Douglas和Dupont[10]首次在矩形域上将交替方向和有限元方法相结合，提出交替方向有限元方法，该方法兼备了交替方向的存储量少，计算最低以及有限元的高精度特点。在此基础上，Dendy，Fairweather[11，12]，Bramble，Ewing，Li[13]，王申林[14]等作了进一步的研究。对双曲型方程交替方向有限元方法的工作最初是在[10]中提出，讨论了最简单形式的双曲型方程并得到H₀¹-模误差估计。[11]对[10]中针对双曲型方程的交替方向有限元方法作了推广，并得到最优L²模误差估计。[12]提出一种新方法，通过转化双曲型方程中二阶时间导数项得到关于一阶时间导数的耦合方程组，然后进行离散，得到一个两层交替方向有限元格式，并得到H₀¹-模和L²-模误差估计。该方法虽然不受等时间步长的限制，对初始条件的选取也更具灵活性，但是它是针对一类变量分离系数型的特殊双曲型方程进行讨论的，对一般形式的双曲型方程则没有提及。[10-14]这些工作都是将交替方向有限元方法局限在矩形域上，这显然不适用于很多实际问题[15，16]。有众多学者对Galerkin交替方向法作了计算区域上的推广。其中Dendy，Fairweather[17]等人将计算区域推广到矩形多边形区域。Hayes[18-20]在80年代初将其推广到更一般的非矩形区域和曲边区域中，利用等参元和等参变换的Jacobi行列式的逼近来研究非矩形域上的非线性抛物问题。对在实际应用中出现的各种问题，Hayes[21]，Hayes，Kennon和Dulikravich[22]，Krishnamachari，Hayes[23]做了强调。该方法在流体流动和热交换问题中的应用在Hayes，Krishnamachari[24]，Lewis，Morgan，Roberts[25]中作了讨论。但是这种方法只是对抛物问题进行讨论的，对非矩形域上双曲型问题并没有文献提及。本文作者在袁益让教授的精心指导下，就双曲型方程的几类数学模型问题利用有限元方法的技巧，构造了具有良好计算效果的交替方向有限元格式，对其作了理论上的分析，并首次给出算例说明了方法的有效性。本文拓广了前人的工作，不具有重复性。本文的工作共分为四章内容。第一章结合[10]中对矩形域上双曲型问题提出的交替方向有限元方法和[19]中利用等参元，等参变换的Jacobi行列式的逼近来研究的思想，给出了两类非线性双曲型方程在非矩形域上的交替方向有限元方法。并且利用微分方程先验估计的理论和技巧，得到了严谨的L²模误差估计。本章共分两节，分别讨论了两类非线性双曲型方程，都是先提出问题的三层和四层交替方向有限元方法，而后给出了两种格式的矩阵形式，最后分别得到了两种格式的误差估计。§1．1的内容投到《Applied Numerical Mathematics》，§1．2的内容已被《Applied Mathematics and Computation》接收并已经在网上发表。第一章的创新之处在于：1)用等参元，等参变换的Jacobi行列式的逼近来研究的思想是针对抛物型方程提出的，没有文献用该方法对双曲型方程进行讨论。本文弥补了这一点。2)对双曲型方程，首次提出四层交替方向有限元格式，这在已有文献上没有发现过。第二章共两节内容，主要运用[12]的思想方法分别讨论了矩形域上的二维和长方体域上三维拟线性双曲型方程的交替方向有限元方法。两节的结构相同，都是首先将双曲型方程转化为一个耦合方程组，其次提出其交替方向有限元格式，利用微分方程先验估计的理论和技巧得到了严谨的H¹-模和L²-模误差估计，并且对于将双曲型方程转化为耦合方程组的这类解决问题的方法，首次给出了数值算例。§2．1的内容已被《Applied Mathematics and Computation》接收并已经在网上发表。§2．2的内容投到《计算数学》。第二章的创新之处在于：1)[12]中提出的新方法是针对一类变量分离系数型的特殊双曲型方程进行讨论的，对更一般形式的双曲型问题没有提及，而本文作了讨论；2)该新方法自提出后并没有数值分析的支持，而本文则首次给出了数值算例来支持理论分析结果，指出该方法的确是一类切实可行的使用高效的工程计算方法。第三章在第二章的基础上仍然运用[12]的思想方法讨论了矩形域上非线性双曲型方程的交替方向有限元方法。本章的结构同第二章，也是首先将双曲型方程转化为一个耦合方程组，其次提出其交替方向有限元格式，得到了严谨的H¹-模和L²-模误差估计，并首次给出了非线性问题的数值算例。这部分内容没有在相关文献发现。第三章的内容投到《Journal of Computational and Applied Mathematics》。第四章讨论了另外形式的方程：广义KdV方程。孤立子作为一个典型的非线性现象在物理和工程领域有着广泛的应用。关于KdV方程及更为广泛一类进化方程的理论研究已有很多工作[26-29]。虽然求广义KdV方程数值解的工作也有很多[30-36]，但并没有对数值解和精确解给出充分的比较。对于广义KdV方程，当x→±∞时，边值趋于0，这样在对数值解和精确解作比较时，就有必要考虑对相对误差的分析。但是对广义KdV方程差分格式做相对误差的分析未见到有论文提出。尽管在[30，35]中提出的伪谱方法对于求解广义KdV方程的数值解比差分方法更有效，但是对误差的比较也仅限于L²，L^∞模和计算时间的比较，并未涉及对相对误差的比较。§4．1首先对一类广义KdV方程提出两个差分格式Ⅰ和Ⅳ，并给出了它们的稳定性证明。用Fourier方法分析了格式Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ的数值耗散和数值频散。所得结果与在[31，32]中给出的一致。然后对几种差分格式作了较详细的比较，尤其注意了对相对误差的比较。§4．1的内容已在《Communications in Numerical Methods in Engineering》上发表。§4．2从另一角度用胞映射方法对广义KdV方程全局吸引域进行了讨论。胞映射是点映射通过离散化得到的。点映射作为解决非线性动力系统的有效工具，其一般方法可以追溯到Poincare和Birkhoff。简单胞映射方法（SCM）[39]是C.S.Hsu在20世纪80年代初提出和发展的。该方法对于研究高维非线性动力系统全局稳定性分析是很有效的工具，见[40-42]。本节首先用行波法将广义KdV方程转化为常微分方程组，并得到广义KdV方程的相图，然后用SCM方法得到广义KdV方程的全局吸引域和有限步吸引域。画相图时主要用到四阶Runge-kutta方法，要选不同的初值，而SCM方法主要用到四阶Runge-kutta方法和中心点法，不用考虑初值的问题。比较相图和吸引域，它们是一致的。这意味着可以从胞映射角度对孤立子进行研究，这在相关文献上还没有发现。§4．2的内容已在《Chaos，Solitons & Fractals》上发表。第四章的创新之处在于：1)首次对广义KdV方程差分格式作了相对误差的比较。2)首次用胞映射方法讨论了广义KdV方程的全局吸引域。这些内容在相关文献上均没有发现。在外文论文部分共附有四篇论文，分为四章。其中第一章发表在《Applied Mathematics and Computation》，第二章发表在《Applied Mathematics and Computation》，第三章已投稿到《Journal of Computational and Applied Mathematics》，第四章发表在《Communications in Numerical Methods in Engineering》。