无网格方法是一类新兴的数值计算方法,相较于传统的数值计算方法,无网格法在构造形函数时摆脱了单元或网格的束缚,仅需要节点的相关信息,具有适用范围广、精度高等优势。由于不存在网格奇异和畸变等问题,无网格法在解决断裂、大变形、弹塑性等问题方面得到了广泛地应用。目前,无网格方法已经成为工程和科学研究者们的研究热点之一,同时也是科学和工程计算发展的趋势。为了解决移动最小二乘法中计算量大、易形成病态矩阵等缺点,复变量无单元Galerkin方法应运而生。这种方法采用基于矢量函数近似的复变量移动最小二乘法,并与无单元Galerkin弱式结合而形成。另外,为了让近似函数具有明确的数学和物理含义,两种改进的复变量无单元Galerkin方法分别被提出,第一种采用了新的泛函来逼近向量函数,第二种则引入了共轭基函数。这类复变量方法均通过降低基函数项数,进而减少试函数中待定系数个数的方式来降低计算成本。裂纹附近非连续场和裂尖奇异场是无网格断裂分析中需要处理的两个基本问题,前者多需引入不连续性准则如可视性准则、衍射法和透射法等,而后者常采用基函数扩展或试函数增强。为了解决多裂纹或分支裂纹的裂尖不连续场,本文引入了一种新的不连续准则即修正权函数法,并对其进行了改进,重新建立修正权函数法的局部坐标系,简化了修正权函数公式的推导过程,并提出了在多裂纹计算域中不同计算点的修正策略和方案,优化了计算过程。计算结果表明修正权函数法能方便地处理多裂纹问题,且具有较高的计算精度。本文将两种改进了的复变量无单元Galerkin方法运用于带裂纹弹性体的断裂力学问题,应用断裂力学问题的Galerkin弱式,采用罚函数法施加本质边界条件,建立了断裂力学的改进的复变量无单元Galerkin方法。通过无网格法中四种处理裂纹不连续场准则来处理裂尖不连续场。分别对单裂纹弹性体及多裂纹弹性体进行了数值分析,给出了裂纹尖端位移场、应力场及应力强度因子并进行了比较。数值结果表明,相较于复变量无单元Galerkin方法,改进的复变量无单元Galerkin方法在计算裂尖的应力场、位移场和应力强度因子时具有更高的计算精度,衍射法和透射法的精度较好于可视性准则,而修正权函数法可以得到精度较高的应力强度因子解,并能较好地拟合多裂纹的裂尖奇异场。目前,国内外研究者们尚未采用过复变量无单元Galerkin方法来处理裂纹扩展问题。本文率先将两种改进了的复变量无单元Galerkin方法运用到线弹性裂纹扩展,并引入裂纹扩展问题的Galerkin积分弱式,给出了裂纹扩展问题的改进的复变量无单元Galerkin方法。介绍了裂纹扩展的条件,裂纹扩展角度的准则及扩展实施流程,分别对二维梁板结构、含裂纹孔洞板进行了裂纹扩展分析,给出了在扩展过程中的裂纹扩展轨迹、应力强度因子变化曲线、节点变形图等,采用不同M积分域、步长及复变量基函数进行计算,所得到的裂纹轨迹与文献相符,表明了本文方法是准确且有效的。