随着其它学科和众多工程技术应用的发展,算子谱问题的相关研究引起了国内外学者的极大兴趣和高度重视。迄今为止,矩阵算子和Laplace相关算子的谱问题是算子理论中发展和成长较快的两个课题。它们在地球物理、量子物理、化学化工等领域具有广泛而直接的应用,同时也是数学物理中求解方程的有效途径。本文首先针对拟三对角矩阵算子的谱问题展开研究,矩阵算子的谱问题是近年来算子谱问题中最为活跃的研究课题之一。同时,对拟三对角矩阵算子的谱问题的研究可应用到无限维空间耗散算子的研究中。其次,分别考虑了Laplace-Beltrami算子和分数阶Laplace算子的谱问题。主要工作包括:研究了拟三对角矩阵算子的谱问题。在拟三对角矩阵算子的谱性质研究的基础上,从可解性和可计算性两方面解决拟三对角矩阵逆特征值问题。关于可解性,对拟三对角矩阵逆特征值问题,根据满足特定谱性质的特征值数据对拟三对角矩阵进行重构,得到了拟三对角矩阵逆特征值问题解存在的充分条件。关于可计算性,通过酉矩阵工具得到了构造此类矩阵的算法。最后,给出了几个算例来展示算法的可实现性。特别地,分别从拟三对角矩阵与其主子阵有没有公共特征值两方面研究了拟三对角矩阵的谱性质,分别从重数和位置两个方面得到相关的结论。讨论了在任意维空间无界紧黎曼流形上Laplace-Beltrami算子的拟特征函数积的近似边界。得到了可以通过一个向量空间实现对拟特征函数的积的逼近,同时,此向量空间的维度是有限的。在任意维数的双线性拟特征函数估计的基础上,得到了库伦范数的近似界。并借助拟特征函数估计的结果,证明了拟特征函数积的二范数的近似界。特别地,分别从低维和高维两方面研究了双线性拟特征函数估计,得到了任意维无边界紧黎曼流形上的双线性拟特征函数估计,使得最高频率在估计式中消失。在双线性拟特征函数对应的特征值相等的情况所得的估计提高了Sogge-Zelditch维数在八维及以上的部分拟特征函数估计结果。这部分所得的结论是将特征函数的结果延伸到了拟特征函数上。研究了区间上一维分数阶Laplace算子谱问题的特征值的近似公式。得到了特征值渐近性分布的更优的结果,即当分数阶Laplace算子中的参数趋于零时,特征值的估计是有效的。该部分所得到的关于分数阶Laplace算子谱问题的特征值渐近性的分布结果(没有有关误差项顺序的信息),通过数值实验得到的相关结论,可在物理学的实际中得到验证。进一步,在特征值渐近性分布结果的基础上,研究了特征函数的性质,得到了拟特征函数的近似值的估计式。