【摘 要】
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本学位论文主要研宄非局部椭圆方程中的两个变分问题. 首先考虑分数阶Nirenberg问题.此问题等价于球面Sn上非线性方程Pγu= Kun+2r/n-2γ的可解性.这里Pγ是Sn上标准度量g
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本学位论文主要研宄非局部椭圆方程中的两个变分问题. 首先考虑分数阶Nirenberg问题.此问题等价于球面Sn上非线性方程Pγu= Kun+2r/n-2γ的可解性.这里Pγ是Sn上标准度量g0的2γ(γ∈(0,1))阶共形协变拟微分算子，且K是正的C3函数.此方程具有变分结构,但是由于右端临界指数的出现,Sobolev嵌入没有紧性,这是我们在寻找临界点时遇到的主要障碍.为了克服这个困难,我们将采用两种方法：(1)运用无穷远处临界点理论.为此,我们构造能量泛函的一个拟梯度向量场使得，当其流线没有进入函数K的有限个临界点的邻域内时,沿着下降流线方向Palais-Smale条件成立,这样就得到一个Euler-Hopf型方程,再通过拓扑假设得到具有有限Morse指标的正解的存在性.（2)利用Lyapunov-Schmidt约化方法和有限维度理论,在假设K(x)具有两个以上临界点和其它局部条件时,得到刺状解的存在性和多重性. 然后,我们考虑分数阶Choquard方程,这个方程有很深刻的物理背景并且当前有很多作者研宄.利用集中紧性原理,我们得到非自治情形下正极小能量解的存在性,从而在一定程度上推广了 P.L.Lions的一个经典结果.
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