【摘 要】
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非线性Klein-Gordon方程在科学、工程、固态物理学、非线性光学和量子场论的各种问题中发挥着重要的作用.Klein-Gordon方程是相对论波动方程,特别是相对论量子力学及其在粒子物理学中的应用,相对论波动方程可以预测粒子在高能量下的行为,速度堪比光速.那么本篇论文就是主要研究关于Klein-Gordon方程解的存在性.大致内容共分为五个部分,第一部分主要介绍了一些预备知识.第二部分利用变分
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非线性Klein-Gordon方程在科学、工程、固态物理学、非线性光学和量子场论的各种问题中发挥着重要的作用.Klein-Gordon方程是相对论波动方程,特别是相对论量子力学及其在粒子物理学中的应用,相对论波动方程可以预测粒子在高能量下的行为,速度堪比光速.那么本篇论文就是主要研究关于Klein-Gordon方程解的存在性.大致内容共分为五个部分,第一部分主要介绍了一些预备知识.第二部分利用变分法,主要讨论了分数阶Klein-Gordon方程组基态解的存在性问题.一方面采取两种办法来研究单个分数阶拉普拉斯方程的约束极小值问题,第一种方法是利用球面来讨论极小值问题,第二种方法是利用Nehari流形来求解极小值问题;另一方面得到了关于分数阶Klein-Gordon方程组解的爆破性和整体存在性问题的最佳准则.Klein-Gordon-Maxwell方程组作为描述非线性平稳Klein-Gordon-Maxwell方程组在三维空间中与静电场相互作用的孤立波的模型,具有很深的研究意义和重要的价值.第三部分基于分数阶Sobolev最佳常数和径向嵌入,在克服紧性缺失的问题之后,证明了关于分数阶Klein-Gordon-Maxwell方程组径向对称解的存在性.第四部分主要考虑了具有Hardy-Sobolev临界指数的Klein-Gordon-Maxwell方程组解的存在性,借助范数的相关定义,得到了次临界方程组至少存在一个非平凡解,继而利用Ekeland变分法原理,推断出临界方程组至少存在两个不同的解.第五部分致力于研究分数阶具有Hardy-Sobolev临界指数的Klein-Gordon-Maxwell方程组解的存在性,首先利用山路定理证明了次临界方程组存在无穷多个临界点,其次利用范数的弱半连续性和Fatou引理证明了次临界方程组存在一个极小的正能量解,最后论证了临界方程组至少存在两个不同的解.
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