四元数理论是爱尔兰数学家威廉·卢云·哈密顿爵士于19世纪40-60年代创立,是复数在四维实空间的不可交换延伸,是有限维的实数结合除法代数,是Clifford代数的一个子代数。20世纪60年代末四元数开始在经典力学中获得实际应用。1985年,Shoemake把四元数引入计算机图形学,从此四元数在计算机图形学、计算机动画、计算机视觉和机器人等领域获得广泛应用。1996年,彩色图像的四元数模型被提出,四元数在彩色图像上的应用研究才开始发展。本文将四元数方法与数字图像处理尤其是彩色图像处理的学科知识相结合,以四元数矩阵奇异值分解、四元数傅立叶变换、四元数卷积、四元数球面线性插值、四元数旋转表示等理论作为主要数学工具,辅以其它信号处理方法,如主成分分析、对数极坐标映射、相位相关、奈奎斯特-香农采样定理等,对彩色图像处理中的若干问题进行了研究和探讨。主要研究工作及成果如下:1.在四元数及四元数矩阵理论的基础上,构造了四元数矩阵的等价实矩阵,并讨论了四元数矩阵奇异值分解（QSVD）与其等价实矩阵奇异值分解的关系。在彩色图像的四元数模型下,利用四元数矩阵奇异值分解进行彩色图像分解:（?）,彩色图像矩阵X_（q）被分解成一系列彩色特征图像（?）的线性组合,其中奇异值λ_i表征彩色图像的不同分量的幅值（能量）。借助四元数主成分分析,讨论了彩色图像的压缩、去噪、增强、边缘检测等处理。2.提出一种基于分块QSVD和Arnold变换的抗几何攻击的鲁棒彩色图像水印方案。因为矩阵的奇异值有稳定性、缩放不变性、旋转不变性、平移不变性、对换不变性等优良性质,所以我们选择在彩色图像的QSVD变换域上嵌入和提取水印:为提高QSVD的速度、增大嵌入水印的容量,我们采用分块QSVD的方法;为增强提出方案的安全性和对裁剪攻击的鲁棒性,我们在水印嵌入前对它进行Arnold置乱预处理;为提高水印方案对旋转攻击的鲁棒性,我们采用对数极坐标映射（LPM）和相位相关方法,先求得几何攻击的变换参数,再通过逆变换重新同步嵌入在奇异值中的水印和宿主图像,之后再进行水印提取操作。实验结果表明我们的水印方案对高斯噪声、JPEG有损压缩、低通滤波、中值滤波、裁剪、缩放、循环平移、旋转等图像攻击都有很好的鲁棒性。3.利用四元数对三维转动的方便表述,构造四元数旋转边缘检测算子,对彩色图像进行边缘检测。彩色图像的边界定义为颜色（包括亮度、色度和饱和度）的不连续跳变。根据相同或相近的颜色矢量绕固定轴旋转360度后可重合或近似重合,相减后为0或近似为0（黑色）;而不同的颜色矢量旋转后不会重合,差不为0的区别来获得图像的边缘信息。实验表明,我们提出的四元数旋转边缘检测算子,能更好地保留原始彩色图像轮廓特征（既包括亮度跳变也包括颜色跳变）,算法简单易行,检测效果好。4.浮雕显示是指通过一定的处理,使二维平面图像产生犹如雕刻般的凹凸效果。它能艺术地再现图像,在平面上凸现景物及其层次,凝重而富有感染力,给人以强烈的视觉冲击。我们提出一种利用四元数旋转边缘检测算子进行图像浮雕显示的新方法。实验结果表明,该方法计算方便,运算速度快,显示效果类似甚至优于广义模糊算子方法和形态学边缘检测算子方法,可以快速有效地获得满意的浮雕图像。5.在四元数球面线性插值（Slerp）基础上,我们推导了双球面线性插值（Bi-Slerp）公式,并在四元数上用球面线性插值、双球面线性插值、双线性插值、双三次插值以及Thiele型连分式建立的自适应切触有理插值等方法进行了彩色图像放大的实验,对实验结果做了比较、分析。Bi-Slerp方法放大效果接近主流的Bilinear插值方法,但因为只用了近邻的4个点,所以插值精度不如用了4×4=16个邻点信息的双三次插值。而Thiele型连分式建立的自适应切触有理插值效果最好,有效地保持了图像的高频信息,即边缘信息和细节信息,放大的图像清晰度高,锐度好。6.四元数可方便地表示旋转,但四元数代数主要应用于三维空间。四维以上的空间,四元数就失效了。于是我们介绍了可以推广到n维空间的,在几何对象的表示和变换计算上更加通用、直观、简洁、高效的共形几何代数（CGA）。我们利用CGA在几何实体的表示和运动计算上做了一些实验,并对四元数和共形几何代数在对象旋转计算上的异同点做了比较。