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科学试验是人们认识自然、了解自然的重要手段.试验设计是统计学的一个重要分支,它通过最优地安排试验方案来获取试验数据,从而极大的提高统计分析的精度和效率.最优设计是试验设计的主要研究方向之一,它的起源可追溯到一个世纪前Smith(1918)的开创性工作.Wald(1943)以参数估计的精确性作为衡量设计方案好坏的标准而提出了著名的D-最优准则.随着最优设计理论的不断发展,研究者根据试验目的不同提出了各种不同的设计准则,如A-最优、E-最优、R-最优、T-最优和IMSE-最优等.为了进一步完善和丰富最优设计理论,本文将以R-最优准则为基础研究几类常见模型的最优设计问题,包括Fourier回归模型,随机系数回归模型,非对称误差下的回归模型以及线性和非线性多因子模型.第一章简单介绍经典线性回归模型下最优试验设计的基本理论,并简单回顾R-最优设计的发展历程.第二章研究线性模型中Fourier回归的R-最优设计.当兴趣参数为可估函数集时,给出了满秩子系统下R-最优准则的定义及其一般等价性定理.在部分圆弧上,得到了一阶Fourier回归模型中的R-最优设计,并进一步讨论了等距抽样方法的相对R-效.在完整圆弧上,推导了高阶Fourier回归模型中估计特定参数对的R-最优设计.第三章研究线性混合效应模型中随机系数回归的R-最优设计.对于个体参数的预测,给出了基于预测均方误差意义下R-最优准则的定义及其一般等价性定理.但是,对于个体偏差的预测,这种直接的定义仅在随机效应的协方差矩阵为正定时是有意义的.相应地,也推导了此时R-最优准则的等价刻画.最后,给出了几个例子来验证得到的理论结果.第四章研究非对称误差下线性和非线性回归模型的R-最优设计.基于二阶矩最小二乘估计,提出了一类新的R-最优准则,并建立了该准则意义下的一般等价性定理.进一步,研究了这种R-最优设计的几个不变性质.数值结果表明R-最优设计支撑点的个数可能会超过未知参数的个数.第五章和第六章研究多因子模型的最优试验设计.第五章研究异方差多因子线性回归模型的R-最优设计.对多因子Kronecker乘积模型,证明了 R-最优设计可通过其边际单因子模型的R-最优设计的乘积设计来构造.对多因子加性模型,当充分条件满足时,R-最优设计也可通过其边际单因子模型的乘积设计来获取.特别地,当加性模型含常数项而不满足正交假设时,得到的最优设计仅在乘积设计类中是R-最优的.第六章研究一类由线性预测驱动信息的多元回归模型的R-最优设计.在矩形多面体设计域上,首先得到了R-最优设计支撑点个数的范围以及饱和R-最优设计的最优权重.进而,给出了这类非线性多元回归模型中R-最优设计的构造方法.最后,利用Poisson回归模型和含删失的比例风险模型的两个例子,进一步验证了得到的理论结果。