【摘 要】
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稳定性与Hopf分岔是动力系统定性理论中的重要研究内容,在自然界与工程技术等领域有广泛应用,如生物,力学,人工智能,模式识别等.19世纪俄国数学家Lyapunov奠定了稳定性理论的基础,他创立了研究稳定性的一整套理论和方法.Hopf分岔是描述参数经过临界值时,由于系统平衡点稳定性变化而分岔出极限环的现象.1981年,B.Hassar,N.Kazarinoff,Y.Wan总结了无穷维动力系统的Hop
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稳定性与Hopf分岔是动力系统定性理论中的重要研究内容,在自然界与工程技术等领域有广泛应用,如生物,力学,人工智能,模式识别等.19世纪俄国数学家Lyapunov奠定了稳定性理论的基础,他创立了研究稳定性的一整套理论和方法.Hopf分岔是描述参数经过临界值时,由于系统平衡点稳定性变化而分岔出极限环的现象.1981年,B.Hassar,N.Kazarinoff,Y.Wan总结了无穷维动力系统的Hopf分岔.通过算子理论,中心流形定理和正规形理论,给出时滞系统Hopf分岔相关性质的计算方法,如分岔方向与分岔极限环的稳定性等.本文研究了时滞神经网络系统的稳定性,Nuclear spin generator系统的Zero-Hopf分岔,时滞竞争phytoplankton-zooplankton系统的全局Hopf分岔和带有二个时滞的三个种群phytoplankton-zooplankton系统的Hopf分岔.以上系统的动力学性质已经被广泛研究,在相关领域有重要的应用.本文主要由五部分组成:第一部分,简述了微分系统的稳定性及Hopf分岔的相关定义,定理以及研究模型的背景与研究状况等.第二部分,我们研究带有常时滞的n层循环耦合神经网络平衡点的存在唯一性,进一步证明了该系统是全局指数稳定的.其关键在于Lyapunov函数的构造.第三部分,研究了Nuclear spin generator系统的Zero-Hopf分岔.已有许多文章研究此系统的诸多动力学性质,如可积性,混沌等.本文通过一阶与二阶平均化方法证明了系统存在非小振幅极限环.我们的工作不同于经典Hopf分岔得到的小振幅极限环.第四部分,研究了时滞竞争phytoplankton-zooplankton系统的全局Hopf分岔.讨论由时滞作为参数引起的正奇点的Hopf分岔,进而论证分岔极限环的全局存在性.与已有的工作相比较,在模型中考虑了HollingΠ功能效应以及由浮游动物妊娠期引起的时滞,并进一步证明分岔极限环全局存在.第五部分,研究了带有二个时滞的三种群phytoplankton-zooplankton模型的Hopf分岔,其中二个时滞是由二种zooplankton妊娠期引起的.鉴于多时滞的复杂性,我们分六种情况:（1）τ1=0,τ2=0,（2）τ1=0,τ2>0,（3）τ1>0,τ2=0,（4）τ1=τ2>0,（5）τ1∈(0,τ10),τ2>0,（6）τ2∈(0,τ20),τ1>0讨论该三维系统的动力学性质.分析了在二个时滞作用下该系统的Hopf分岔.相比较已有的工作,我们把二种浮游动物妊娠期所引起的双时滞作为分岔参数,给出浮游生物系统周期现象一个新的解释.
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