【摘 要】
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近现代物理学中的经典问题均可借助微分方程模型来刻画并获得较好地解决.在此过程中,数学中的微分方程及相关的非线性泛函分析等研究获得了长足的发展,产出了一系列具有深远影响的研究结果.其中,半线性椭圆型方程及其相关的临界点理论是近年来国内外研究的热点方向.具有代表性的半线性椭圆型方程包括源于量子力学中的非线性薛定谔方程模型,量子化学中的多体问题模型以及震动问题中的K-G模型等.有较强应用背景的椭圆问题的
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近现代物理学中的经典问题均可借助微分方程模型来刻画并获得较好地解决.在此过程中,数学中的微分方程及相关的非线性泛函分析等研究获得了长足的发展,产出了一系列具有深远影响的研究结果.其中,半线性椭圆型方程及其相关的临界点理论是近年来国内外研究的热点方向.具有代表性的半线性椭圆型方程包括源于量子力学中的非线性薛定谔方程模型,量子化学中的多体问题模型以及震动问题中的K-G模型等.有较强应用背景的椭圆问题的研究推动了现代微分方程理论及非线性泛函分析的进步和发展,促进了下降流不变集,形变引理,极大极小原理,山路定理,Ekeland变分原理,Nehari流形,Krasnoselskii’s理论和集中紧性分析等系列重要理论成果的建立,为相关问题的解决提供了新的工具.1883年,基尔霍夫[1]提出基尔霍夫问题与其方程的平稳模拟相关,是对弦振动的经典的达朗贝尔波方程的延伸.1978年,Lions[2]给出了此类问题的变分框架,随后越来越多的学者展开了大量的研究.非局部项∫Ω|▽u|2dx的出现使基尔霍夫问题的研究变得更加复杂和有趣.例如:非局部效应可以在生物系统中得到应用,抛物线版本可以用来描述特定物种的生长和运动,特定物种的移动可以受域内的总人口密度的影响（例如,细菌的传播）.因此,基尔霍夫问题的研究也成为近年来讨论的热点.在讨论非线性基尔霍夫问题中,非线性项对方程中解的影响起到了关键作用.本文讨论了带有不同非线性项的几类椭圆问题解的存在性,至今有许多学者广泛的研究了此类问题.例如:文献[3]通过Nehari流形和纤维映射研究了带有凹凸非线性项的基尔霍夫问题多解的存在性;文献[4,5]研究了带有对数非线性项的薛定谔方程多解的存在性;文献[6-8]得到了基尔霍夫问题变号解的存在性,其中文献[8]带有凹凸非线性项;文献[9]根据Krasnoselskii’s理论研究了带有p-Laplacian算子的基尔霍夫型问题;文献[10,11]研究了非线性薛定谔和基尔霍夫型传输问题多解的存在性.在已有文献的启发下,本文根据变分法和临界点理论的相关知识研究了几类椭圆问题解的存在性.分为以下五章:第一章主要介绍了椭圆问题的研究背景,论文结构和相关的理论知识.第二章通过Nehari流形及纤维映射研究了带有对数非线性项的基尔霍夫型问题多解的存在性.分为p ∈[3,5)和p∈（1,3）两种情况讨论.由于对数函数几何结构的特殊性,本章需要克服以下困难:在一定的假设条件下推导出与对数函数相关的不等式;证明Nehari流形非空;构造特殊的辅助函数;将Nehari流形分成三部分.第三章研究带有凹凸非线性项的基尔霍夫问题,首先通过变号的Nehari流形得到了该问题的基态变号解的存在性,根据山路定理和Nehari流形得到了该问题基态解的存在性,并得出了基态变号解能量值大于基态解能量值的2倍.其中,凹凸非线性项的讨论和空间的紧性恢复是本章需要攻克的困难.第四章根据纤维映射,Nehari流形和Ekeland变分原理研究了带有N-Laplacian算子的基尔霍夫问题,并且得出该问题至少存在三个正解.证明Nehari流形非空,带有N-Laplacian算子空间紧性条件的恢复以及划分Nehari流形成为本章需要克服的难点.第五章通过Nehari流形上的约束极小研究带有凹凸非线性项的基尔霍夫型传输问题,并且得出该问题至少存在两个非平凡解.其中,根据传输条件构造合适的变分结构,工作空间以及证明泛函的临界点对应原方程的弱解成为本章拟解决的重点.
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