图的染色问题及其色数问题是图论中非常活跃的研究课题。简单来说,图染色是指对图中的顶点、边或面按一定的规则进行染色,并按不同色分类。染色作为分类方法中的一种简单且直观的表达方式被广泛应用于各个领域中。经典的点（边）着色就是把图的点（边）集分解为若干个互不相交的点（边）独立集的并。由此,人们就开始思考能否将图的点（边）集分解成为其他的形式。自然地,人们首先考虑到了树,树是任意两个顶点间有且只有一条路径的图,当人们开始思考是否能将点（边）集分解为树的时候,就产生了荫度理念。若是考虑对点分解,就产生了点荫度概念。本文主要研究了几类限制条件下的图的点荫度问题。我们规定,除明确指出的图外,本文考虑的图都是有限的、无向的简单图。把一个图G的点集划分为k个不相交的子集,使得每一个子集的导出子图都是森林,满足上述条件的最小整数k,称为图G的点荫度,记为va（G）。该定义最早是由Chartrand等人在1968年提出来的。第二年,他们证明了对于任意的一个图都有va（G）≤「1+Δ（G）)/2（?）成立,平面图的点荫度满足va（G）≤3。随后,诸多学者对上述有关问题展开研究并取得了一系列的成果。Garey等人于1979年证明了确定一个图的点荫度是一个NP-难问题。具体来说,本文分四章进行论述。第一章主要介绍了本文所涉及的基本术语、相关定义以及符号,并对点荫度问题的研究现状进行综述,此外还简要叙述了本文所用到的关键证明思路及给出的主要结果。第二章主要研究了限制条件下平面图的点荫度问题,证明了若平面图G不存在相交的3-圈和4-圈,或不存在相交的3-圈和5-圈,则图G的点荫度va（G）≤2,这些结果推广并改进了现有的一些结果。第三章主要研究了限制条件下可嵌入到欧拉示性数非负曲面的图的点荫度,证明了若可嵌入到欧拉示性数非负曲面的一个图G不存在相交的3-圈和5-圈,或不存在相交的5-圈和6-圈,则当图G不是正则四边形网格图时,图G的点荫度va（G）≤2。在第四章,我们对有关于图的点荫度问题进行了一些展望。