【摘 要】
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求解高维偏微分方程（PDEs）是应用数学领域的最具挑战的课题之一.用深度学习（DL）方法求解高维PDEs是当前研究热点,人们期待深度学习方法可以克服经典数值解法无法解决的高维方程的维数灾难问题.然而,如何把求解偏微分方程问题转化为一个学习问题,并使深度学习技术契合具体的高维偏微分方程仍是一个颇为艰难的任务.本文以PDEs的倒向随机微分方程（BSDE）表示为基础,利用深度神经网络（DNN）估计方程的
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求解高维偏微分方程（PDEs）是应用数学领域的最具挑战的课题之一.用深度学习（DL）方法求解高维PDEs是当前研究热点,人们期待深度学习方法可以克服经典数值解法无法解决的高维方程的维数灾难问题.然而,如何把求解偏微分方程问题转化为一个学习问题,并使深度学习技术契合具体的高维偏微分方程仍是一个颇为艰难的任务.本文以PDEs的倒向随机微分方程（BSDE）表示为基础,利用深度神经网络（DNN）估计方程的解函数及其梯度.通过非线性Feynman-Kac公式将高维偏微分方程的解函数用对应的BSDE方程的解函数表示.将数值求解问题表达为随机控制问题,同时将解的梯度算子作为策略函数,通过深度神经网络近似该策略函数,从而求得高维PDEs的数值解.本文在分析现有神经网络参数最优化方法的基础上提出了新的改进算法.此外,对小批量样本抽取方法展开研究并提出了新的样本抽取方法.最后,将所提出的方法应用于几个实际的高维非线性偏微分方程问题的数值求解,所提出的数值方法得到了令人满意的精度和效率.
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