偏微分方程最优控制（设计）问题的研究是数学科学中一个充满活力和生命力的领域,在过去的30年间得到了广泛的研究和应用.作为数学尤其是应用数学的一个分支,它涵盖了许多领域,比如时间控制,反应回馈控制,流体控制,最优形状设计（包括材料设计,晶体增长及化学反应等）,多尺度问题最优控制及参数估计等,相关文献可见[55,71,72,80,81]等.最近五年以下几个方面得到了大家的广泛关注:数值离散;大型优化问题的快速求解;自适应有限元方法;三维时变问题的有效算法;多尺度系统控制等.一般而言,我们所关心的最优控制问题大多数都可以表示成如下符号形式:（OCP）s.t.其中J为目标泛函;y称为状态变量,并且属于状态空间V;u是控制变量,并且属于控制空间U;U_ad称为控制（设计）相容集;A为空间V×U_ad上的某一特定算子.通常状态方程A（y;u）=0可以表示某一偏微分方程,或变分不等式,甚至结合了状态受限,更详细的说明将在下文给出.最优控制的基本思想就是通过“控制”变量来控制状态,从而由状态方程最终来确定状态.而事实上这些状态变量（例如某一系统的温度或者位置等）通常都难以直接去控制.有时我们也称控制变量为设计变量,控制空间为设计空间,称状态变量为系统变量.最优控制（设计）在实际工程应用方面起到了非常重要的作用,而有效的数值方法对于最优控制的成功运用也是至关重要的.当前,在最优控制问题的计算方面有限元方法似乎是应用最广泛的数值方法,大量的研究文献读者可以参考[4,9,31,35,48,52,60,61,62,63,65,70,71]及其相关引文.在这些文献中作者们集中讨论了大量椭圆与时变方程最优控制问题的先验、后验误差估计及其收敛性分析.但是对于最优控制问题的研究这仅仅是凤毛麟角,很难用一两句话概括的清.关于偏微分方程有限元方法与最优控制问题的系统介绍,相关文献可见[24,55,72,81]等.有限元方法在偏微分方程最优控制问题中的应用已有广泛和深入的研究.例如在文献[35,39,52]中讨论了线性椭圆方程的情况,在[5]中讨论了半线性椭圆方程的情况,在[60,64]中讨论了非线性椭圆方程的情况,在[57,62]中讨论了斯托克斯方程的情况,在[4,53,63,69,70]中则讨论了线性抛物方程的情况以及其他一些方程见[11,25,87,89]等.但是,据我们所知在时变对流扩散方程最优控制问题方面,我们是首先发表文章的人,详情见文献[32]或第一章中部分内容.让我们回忆时变对流扩散方程作为一种数学模型的广泛应用,它可以用来模拟油藏的运移,环境的变化,地下水污染运移,热量的传播,移动流体的溶解过程及其它一些应用见[8,29]等.而在许多的实际应用中我们知道Peclet数是很大的,因此这类问题就表现出非常强的对流占优的特性.其解会有很尖锐的移动前沿及复杂的结构,从而给数值计算和数学本身都带来很大的困难.正如大家所熟知的那样,对于对流占优的这类对流扩散方程,古典的有限差分方法或有限元离散会产生过多的并且让人难以接受的非物理震荡,这是因为边界层很难处理;而古典的迎风方法则会产生过多的数值弥散,从而磨平了尖锐的移动前沿.此外,这种方法得到的数值解还会严重的依赖于所选取的差分网格.为了减少以上所提到的这些现象,人们提出并分析了许多新的技巧,比如流线扩散有限元方法[44],残量自由泡函数方法[16],间断Galerkin有限元方法[49],边稳定化Galerkin方法[17],以及专门处理时变问题的特征线方法（像MMOC方法[27.30],MMOCAA方法[26],ELLAM方法[21,83],CMFEM方法[6]）等.尽管上面所提到的这些技巧都适用于对流占优的对流扩散方程,但是将它们直接应用到最优控制问题上在许多情况下却并不是那么容易.据我们所知,到现在为止在稳态对流扩散方程最优控制方面也仅有几篇文章发表,最早在文献[25]中作者讨论了将SUPG方法应用到最优控制问题中;文献[11]采用了局部投影稳定化有限元方法,即所谓的LPS方法;最近,在文献[87]中作者则考虑了边稳定化方法.在抛物方程最优控制问题方面发表的文献也不多见,主要有[53.63.69,70]等几篇文献.在非稳态对流扩散方程最优控制问题方面,除了我们的文章之外甚至没有见到任何其它文章发表.众所周知特征线方法具有很好的稳定性,而且从物理的角度来看特征线算法更加的自然,因为它很好的模拟了物质的运动过程.此外,从数学的角度来看特征线算法也是非常有魅力的,因为它使得我们研究的问题对称化了.正是基于此,博士期间我的主要工作也集中在讨论用特征有限元方法来逼近瞬态对流扩散方程最优控制问题上.我们主要讨论了两类对流扩散方程,第一类我们考虑了速度场不可压缩的情况,并给出了先验及后验误差估计.这部分工作将在第一章和第二章中阐述.接着第二类情况我们考虑散度型对流扩散方程并且假定速度场是可压缩的,给出了先验误差分析.这部分结果将在第三章中给出.从已有的研究成果来看,在诸多类型的有限元方法的计算中,自适应有限元因其高效性已成为当前科学和工程计算领域内一个重要课题.为了得到高精度的数值解,自适应方法的本质正是在于通过后验误差估计得到的指示子作为加密的标准来实现网格的局部加密.它的实现机理就是在指示子大的地方进行网格加密,也即在函数正则性较差或解结构比较复杂的地方网格点分布较密.所以,自适应有限元方法的有效性和可靠性就严重依赖于所采用的指示子.关于指示子有很多种,譬如残量类型,分层类型,基于局部平均就是所谓的目标定向对偶加权方法的类型,泛函型误差控制子等等,具体可见参考文献[4,7,82]等.从众多相关文献中可以看出偏微分方程初值问题和初边值问题的自适应计算已经有了相当成熟的理论及其应用.但是方程的最优控制问题方面,自适应算法的计算还处于初级阶段,仅有部分类型的控制问题有相关结论.例如,对于控制不受限的问题目标定向加权对偶方法在文献[9]中给出了分析;控制受限下的控制问题其残量类型的后验误差估计可见文献[41,60,61,70]等.一般来说,对于受约束的控制问题而言,控制变量和状态变量具有不同的正则性,通常是控制变量的正则性较差（最多属于空间H¹（Ω））.此外,它们各自奇异性的位置也有所不同.因此传统的在同一套网格下进行计算的效率较低.从而,自适应多套网格即对不同的变量根据其相应的指示子来调整各自的网格,变得非常有必要.同时这也使得多套网格下最优控制问题的自适应计算可以更有效的进行.关于此方法和思想的应用可见文献[48,51]等.但是,对于发展方程最优控制问题而言其自适应数值计算要复杂得多,相关内容可见[53,63]等.在导师芮洪兴教授的精心指导下,本文作者对发展型对流扩散方程最优控制问题做了部分研究工作.基于刘文斌教授等人在抛物方程最优控制问题方面的工作,结合所熟知的特征有限元方法,我们讨论了两类不同类型的时变对流扩散方程最优控制问题.从理论上分析了算法的收敛性,并得到了先验和后验误差估计.理论分析和数值试验都表明我们在本文中所提的算法是有效的、可靠的.全文共分三章,下面几段将简要介绍一下各章的主要内容.第一章,对线性对流占优对流扩散方程的二次最优控制问题提出了一类特征有限元逼近格式.其中在第一部分我们着重讨论了控制变量单边受限的情形,这里状态和伴随状态变量考虑用分片线性连续函数来离散,而控制变量则由分片常数来逼近.得到了控制和状态逼近的最优模误差估计即（?）（h_U+h+k）,其中h_U和h分别代表控制和状态变量的空间网格尺寸,k表示时间步长.这一部分的主要结果发表在《Journalof Scientific computing》（见[32]）.在本章的后半部分,我们则考虑了控制变量双边受限的情况并且推广到用分片线性间断元或分片常数元来逼近它.同样我们得到了控制和状态逼近的先验估计即（?）（（?）+h²+k）,其中m=0或1.这一部分的主要结果已经投递刊物（见[33]）.本章的最后我们给出了数值算例,对两种情形的收敛性给出了有效验证.第二章,我们把主要精力放在了研究对流扩散方程最优控制问题的后验误差估计方面,这对于设计有效的自适应特征有限元算法意义深远.通过采用对偶估计的技巧,我们得到了最优控制问题的L²模后验误差估计子.这里需要指出的是,此后验估计子有两大主要部分构成:一部分即η₁来源于对变分不等式（2.3.9）的逼近,另外一部分η_i,i=2,…,13是由对状态和伴随状态方程的逼近得来的.特别地,η₆和η₁₁是我们的特征有限元格式本身所产生的.很明显单独用状态或控制逼近误差本身都不足以有效地求解整个控制问题,在第二章中对后验误差估计子我们会给出详细阐述.第三章,对奇异扰动的时变对流扩散方程最优控制问题,我们提出了另一类特征有限元（CFE）算法来处理速度场非散度自由,即可压缩的情形.本章的主要思想来源于芮洪兴教授等人在文献[75]中所提的守恒型特征有限元算法.这一章中我们考虑用分片线性连续元来逼近状态变量,而对于控制变量考虑到其正则性较差,我们仅用分片常数元来逼近它.最后我们得到了状态和伴随状态变量的ε加权能量模误差估计及控制变量的L²模估计.数值试验表明这种新的特征有限元算法依然是非常有效和可靠的.部分主要结果即将发表.