自Klein群理论提出以来,其研究和应用得到了迅速的发展。因其在低维拓扑,动力系统,黎曼几何等科学中有着重要的应用,Klein群的研究引起了很多专家学者的注意,并已取得大量的研究成果。本文主要研究M(o)bius变换群的离散性,通过引入测试函数得到了若干二维M(o)bius变换群的离散性准则,主要结论是回答了杨世海提出的一个公开问题。另外,本文还研究了高维M(o)bius变换群的离散性判别准则。本文的具体安排如下:　　 在第一部分当中,我们简要介绍了Klein群的发展历史和该领域的研究现状,理清了M(o)bius变换群离散性研究的发展脉络。通过列举和分析这一领域的研究成果,我们介绍了本文将要进行的工作。　　 在第二部分当中,我们对低维M(o)bius变换群的离散性判别进行了研究。在这一部分当中,我们对杨世海的猜想进行了证明。得到了三个利用测试函数与某种元素(椭圆元素、斜驶元素、抛物元素)所生成的群的离散性来判别整个群的离散性的定理,并利用这些定理推广得到了一些性质。　　 在第三部分当中,我们在低维M(o)bius变换群的离散性判别研究基础之上研究了高维M(o)bius变换群的离散性。在dim(σ(L(G)))为偶数的情况下,我们利用WY(G)的离散性及正则椭圆元素与斜驶元素(或抛物元素与斜驶元素或正则椭圆元素与抛物元素)所生成的群的离散性得到了三个新的离散性判别定理。