【摘 要】
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Poisson-Nernst-Planck（PNP）方程是由Poisson方程和Nernst-Planck方程组合而成的强耦合非线性偏微分方程组.此类方程广泛用于描述生物化学的静电扩散反应过程、半导体的离子输运以及生物细胞膜间的离子转换等应用领域.有限元方法是求解PNP方程的一种流行离散化方法,因此,研究PNP方程的有限元误差估计及其快速算法具有重要的理论意义与实际应用价值.本文主要开展了以下三个
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Poisson-Nernst-Planck（PNP）方程是由Poisson方程和Nernst-Planck方程组合而成的强耦合非线性偏微分方程组.此类方程广泛用于描述生物化学的静电扩散反应过程、半导体的离子输运以及生物细胞膜间的离子转换等应用领域.有限元方法是求解PNP方程的一种流行离散化方法,因此,研究PNP方程的有限元误差估计及其快速算法具有重要的理论意义与实际应用价值.本文主要开展了以下三个方面的研究工作.针对描述离子质量守恒的经典含时PNP方程,通过引入一种合适的有限元投影算子,首先证明了其半离散线性有限元离散格式的最优2误差估计;接着对一种应用广泛且更能保持PNP方程物理特性的向后Euler全离散线性有限元格式建立了最优2误差估计理论.数值实验验证了理论结果的正确性.针对含时PNP方程的全离散有限元方法,构造了半解耦和全解耦格式的两网格算法.该算法基于解耦思想,通过使用粗网格空间的有限元解作为细网格解的一个可靠逼近解,在每个时间层上将原始的全离散耦合系统解耦成更小的独立系统,与标准有限元方法相比提高了求解PNP方程的计算效率.基于本文推导的有限元解的最优2误差估计,获得了静点势的两网格有限元解在1范数下的最优误差估计;对浓度的两网格有限元解分别给出了2和1误差估计.数值实验表明,当网格尺寸和?满足=(?1/2),两网格法具有与标准有限元法相同的误差收敛阶.包括实际应用的离子通道问题在内的一系列数值实验验证了两网格算法的有效性,更少的CPU时间表明两层网格法大大地提高了有限元方法求解PNP方程的效率.针对一类改进的非线性稳态PNP模型的线性有限元格式,讨论了其梯度重构型后验误差估计.首次对该模型问题进行了严格的后验误差分析,并获得了静电势和浓度的后验误差估计子的上界和下界估计,设计了基于非线性PNP模型后验误差估计子的自适应有限元算法.特别地,本文推导的后验误差估计子依然适用于经典的稳态PNP方程.若干数值实验验证了后验误差估计子的可靠性和有效性,自适应计算提高了奇性PNP模型问题的计算效率.
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