【摘 要】
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本文主要研究分数布朗运动驱动的几类平均场随机微分方程的显式数值算法及其收敛性.平均场随机微分方程的数值近似一般分为两步:第一步,利用平均场随机微分方程关联的交互作用粒子系统逼近原方程,第二步,构造离散数值格式逼近该交互作用粒子系统.对于分数布朗运动的平均场随机微分方程,我们首先证明分数布朗运动驱动的交互作用粒子系统逼近原方程的混沌传播理论,接下来根据分数布朗运动的性质推导相应数值格式的收敛阶.另一
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本文主要研究分数布朗运动驱动的几类平均场随机微分方程的显式数值算法及其收敛性.平均场随机微分方程的数值近似一般分为两步:第一步,利用平均场随机微分方程关联的交互作用粒子系统逼近原方程,第二步,构造离散数值格式逼近该交互作用粒子系统.对于分数布朗运动的平均场随机微分方程,我们首先证明分数布朗运动驱动的交互作用粒子系统逼近原方程的混沌传播理论,接下来根据分数布朗运动的性质推导相应数值格式的收敛阶.另一方面,依据Hurst指数可将分数布朗运动分为0＜H＜1/2（不相交区间上的分数布朗运动增量负相关）,H=1/2（不相交区间上的分数布朗运动增量不相关）,1/2＜H＜1（不相交区间上的分数布朗运动增量正相关）三种情形,其中H=1/2时不相交区间上的分数布朗运动增量具有独立性.本文还通过数值算例研究了这种相关性对粒子间交互作用产生的自组织动力学的影响.本文的主要特色如下:1)当Hurst指数不等于1/2时,本文提出一种显式数值方法求解分数布朗运动驱动的平均场随机微分方程,分别给出正、负相关两种情况下混沌传播理论及其理论分析,有效地保证了数值算法收敛性分析的完整性.2)当Hurst指数等于1/2时,为了降低求解平均场随机微分方程所关联的交互作用粒子系统运算的复杂度,我们进一步发展了随机分批法,针对平均场随机微分方程系数是线性分布依赖或非线性分布依赖的情形,证明了数值解的有界性和收敛性,并获得了每组分批样本的容量和收敛阶之间的关系式.3)针对Hurst指数等于1/2时的分数布朗运动驱动的平均场随机微分方程,且方程的漂移系数与扩散系数项关于状态变量是高度非线性的,本文分别提出了截断Euler-Maruyama方法和自适应步长方法,克服了经典显格式不收敛的问题,并给出了有界性和收敛性的理论证明.4)针对一类具有自组织动力学行为的交互作用粒子系统,本文采用显式数值方法探索其动力学行为是如何随着Hurst指数的大小变化而变化的,数值结果表明:正相关情形下,Hurst指数的增大会打破粒子系统的集聚行为;然而负相关情形下,Hurst指数的减小会有助于粒子系统进入集聚状态.
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