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相位恢复(Phase retrieval)算法最早是为了解决在物理成像领域,如x射线晶体衍射成像等,由强度探测器带来的相位丢失问题。在这些应用场合,通常需要通过对某一衍射场的波前强度测量数据,来反演某一截面的复振幅分布或是推测衍射物体的结构,然而通常所使用的探测器,比如CCD,只能对衍射场的强度给出测量信息,相位一般都是丢失的,但相位刚好携带着物体最主要的结构信息。失去相位信息,仅靠强度信息而进行衍射场反演基本上是不完备的。为了解决相位丢失的问题,1972年,Gerehberg与Saxton等在Optik上发表并提出了经典的GS相位恢复算法,该算法创立了波前传播迭代相位恢复算法的基本模式,由双强度测量数据不断约束迭代波前,是第一种实用的相位恢复算法。后来由Fienup所改进的HIO算法,是广泛使用的相位恢复算法,具有更好的收敛性,鲁棒性,同时只需单强度测量。
相位恢复作为一种与实际测量有关的问题,在应用上也具有一般测量问题的特点,那就是对于测量设备的精度依赖性较高,尤其是当香农采样定律满足条件比较苛刻时。为了获取高分辨率的测量数据,花在采集上的时间有时候将会过长,这在某些场合下,比如实时应用等,采集耗时过长将影响限制这种方法的进一步应用。在信号理论领域,越来越多的研究开始关注于被称为压缩传感(Compressed Sensing)的理论。这个理论对于香农采样定律提出了一种挑战,在远低于香农采样率的情况下,如果信号满足在某个变换域或者冗余字典之下稀疏的条件,而采样矩阵满足约束等距条件,则从少数采样依然存在重建信号的可能。正因为有这个特点,近些年来,压缩传感理论被研究者应用于各个不同应用渠道,如单像素相机,太赫兹成像,MRI医疗成像等,用于改善改进相应的算法,降低对采样测量的要求等。
压缩传感与相位恢复理论相结合,其意义可以从两方面所阐述。从相位恢复方面上看,相位恢复作为一种涉及到测量的问题,应用压缩传感理论可以大幅度降低采样数,降低对采样设备的硬件要求,降低采样耗时。从压缩传感方面来讲,压缩传感理论采样一般要求是物平面的各种线性组合,线性组合(如衍射频谱)在相干成像过程中占有很大比重,但它们多以复数的形式存在,而我们能测量到的仅仅是其强度。因此,如能结合相位恢复的相关算法,有助于解决压缩传感理论在光学成像中的具体应用问题。
本文主要从算法层面,研究压缩传感与相位恢复经典算法的基本结构和迭代原理,寻找二者的结合点,提出了一种傅里叶域的基于压缩传感的相位恢复重构算法。本文的研究内容主要有如下:
1.提出一种基于压缩传感的相位恢复(CSPR)重构算法,首先分析压缩传感的一种被广泛使用的重构迭代算法IST(Iterative Shinkage/Threshold),我们研究其算法基本迭代结构,结合相位恢复领域经典的混合输入输出(Hybid I/O)算法,最终形成CSPR的重构算法,由小部分的傅里叶振幅子集,来重构稀疏物面分布的,提出可行的重构算法迭代步骤,并分为振幅物体和相位物体两种不同类型,考察其迭代结果
2.考察傅里叶频谱在频谱面上的特点,设计合理的采样模板。并且研究傅里叶振幅数据采集在实际应用中可能出现的问题,比如频谱能量过于集中,在中心处能量是其它区域的几千倍,使得采集所用的CCD动态范围要求过高,对于低频能量量化精度不够。再有就是,傅里叶频谱在低频和高频段,对于信号的重构作用有着本质的不同,一般而言,绝大多数实际中遇到的信号,低频分量携带绝大多数信息,但是低频分量对于本文所用的最小全变差重构作用不大,因为低频信号本身的全变差就很小。
3.针对算法直接傅里叶频谱采集的缺点,提出一种改进方案,对照明光引入前置随机相位模板,使得频谱能量被有效地打散,从而解决能量动态范围过高的问题。并且,由于引入了随机化的测量,使得测量过程更接近于标准版的压缩传感随机测量矩阵,从而迭代过程对于任何形式的信号和初值都开始变得平稳。