分拆函数是数论中非常重要的一类函数。除了经典的分拆函数p(n)外，还有许多不同种类的衍生分拆函数，其中一种是Andrews等人于2007年引入的broken k-diamond partition A k(n)，其定义为(此处公式省略)　　在本文中，我们详细研宄了△κ(n)系数的奇偶性，得到了 k=5,8,9时的若干同余性质：(此处公式省略)并且由此出发，得到了大量△κ(n)模2的类Ramanujan同余式。这大大丰富了现有的结果。　　此外，在以模形式为工具进行研宄的时候，我们讨论了一类形如nη(z）2η(bz)2的η-商系数的稀疏性问题。一个形式幂级数f(z)=（此处公式省略）被称为稀疏的，如果它的几乎所有的系数a(n)都是0，也就是（此处公式省略）。　　当f(z)为模形式时，Serre等人证明了f(z)是稀疏的当且仅当它可以写成一些带复乘的模形式（CM form)的线性组合。利用这种方法，我们证明了如果b不带除了2和3以外的平方因子，且23 t b时，η(z)2η(bz)2的系数是稀疏的，当且仅当b∈{1,2,3,4,16}。并且在这几种情况下，我们算出了对应的CM form的线性组合，从而得到了这几个η-商的具体系数。