流体与固体介质中的非线性波动现象与介质的非线性、粘热性及弛豫性密切相关。这些性质对非线性波在介质中传播时产生的效应不同,它们的共同作用或它们中部分的作用可产生一些新的波动现象。本文从非线性波基本传播特性、相互作用的系统分析到新求解方法的提出、发展与应用等两大方面开展研究。第一部分中,我们采用新的解析方法、数值方法以及图形分析方法,对非线性、粘热性及弛豫性等性质产生的效应进行了进一步直观、系统的分析。特别是,由它们中部分性质的竞争作用而产生的冲击波、孤立波的相互作用进行了详细的分析,进而发现了相互作用产生的合并、不传播冲击波以及孤立子与奇异孤立子碰撞时产生的“幅度倍增”等新的现象。同时,对固体介质中传播的应变孤子的相互作用对固体介质造成的影响进行了试探性的研究,初步得到在一定条件下应变孤立子的相互作用是造成岩石介质破裂的一种可能的机制。第二部分中,对非线性波动方程的解析求解方法进行了一些创新性的研究。首先,我们对新提出的齐次平衡法的一些关键的步骤进行了改进,使该方法对某些方程组（包括高维方程组）的求解变的更简便、更有效。用改进后的方法研究了一维和二维的浅水波方程,得到了它们新的类多孤子解。根据得到的解分析孤立波之间的相互作用,从而发现了相互作用产生的合并、分裂、不旋转孤立波、波形的转换以及“性质”的改变等一些新的现象。其次,我们还提出了一种新的函数变换方法。用该方法研究了一些重要的非线性波动方程,得到了它们新的孤立波解。在应用中发现该方法对高次非线性波动方程的求解具有独特的优点。同时,该方法还提供了把超椭圆积分退化成初积分的一种有效的途径。最后,我们介绍了一种新提出的初积分方法,并用该方法研究一种非线性频散——耗散方程,得到了该方程的一系列新的精确行波解。