拓扑优化技术解决了给定设计域内确定最佳材料分布的问题,能够在概念设计阶段确定结构最优拓扑。经过近三十年的发展,拓扑优化技术已经应用于各个领域,涵盖宏观结构设计至微观材料设计。微观材料的拓扑优化设计可以使材料的潜能得到充分的发挥,设计出满足各种性能要求的特殊材料。为了适应梯度变化的外界环境,功能梯度材料的概念被提出,其特征是材料的某种物理属性沿着某方向呈梯度变化。本文围绕功能梯度材料的拓扑优化设计展开研究,主要工作如下:首先,提出了一种基于移动极限自适应机制的改进变密度法,显著加快了拓扑优化问题的收敛速率。移动极限作为直接作用于迭代步长的重要参数之一,对结构收敛速率有很大的影响,将其从常量修正为基于迭代前后设计变量的改变值而进行自适应调整的变量,能够在保证结构最优拓扑不被破坏的条件下,提升拓扑优化的效率,通过结合两个连续体拓扑优化经典算例,验证了所提出改进变密度法的有效性和快速收敛性。其次,研究了微观尺度下的连续体拓扑优化设计问题,该微观连续体结构由大量周期性排列的单胞组合而成,提出了微结构单胞基于改进变密度法的设计方法,并将其应用于四个微结构设计算例中,证明了基于改进变密度法的材料微结构拓扑优化设计方法的有效性。接着,研究了具有极端性能的功能梯度材料的拓扑优化问题,利用非线性扩散的思想,保证材料结构的连续性,构建了其基于改进变密度法的求解流程。通过算例测试,得到了满足Hashin-Shtrikman-Walpole体积/剪切模量上界的功能梯度材料,验证了所提出的改进变密度法设计极端性能功能梯度材料的可行性。最后,研究了具有特定性能的功能梯度材料的拓扑优化问题,通过最小化结构整体密度梯度的能量泛函形式,保证结构的连续性,构建了其基于改进变密度法的求解流程。以负泊松比的物理属性为例,通过算例得到了具有特定负泊松比的功能梯度材料结构,验证了所提出的改进变密度法设计特定性能功能梯度材料的有效性。