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本文的研究对象是导出范畴上的Hall代数,即Toe¨n [47]定义的导出Hall代数。众所周知,Hall代数给出了实现量子群的优美模型。我们感兴趣的是导出Hall代数与量子群之间的关系:导出Hall代数可以看成量子群的Z周期模型,量子群上的某些结果也可以延拓到导出Hall代数上。本文主要有以下三方面的结果。设k为一个有限域。首先考虑一个遗传k-范畴A的导出范畴Db(A )。Db(A )对应的Hall代数构造有两方面的结果。其一是Kapranov [23]定义的格代数L(A ),其二是Toe¨n定义的导出Hall代数DH(A )。我们证明了导出Hall代数通过扭乘和扩展(即添加torus),便与格代数同构。而导出Hall代数在0,?1位置的子代数,也相应地提供了扩展Hall代数的Heisenberg double。其次,设Λ为一个有限维遗传k-代数。如果一个半单李代数g和Λ对应于相同的Dynkin图,则有量子群Uq(g)的正部分U+典范地同构于Hall代数H(Λ)。一个自然的问题是:如何将U+中的根向量分解为Chevalley生成元的单项式的线性组合?我们在导出Hall代数DH(Λ)上提出了类似的问题:如何将一个exceptional元分解为单生成元的单项式的线性组合?我们运用两种算法解答了这一问题。第一种利用了导出范畴中exceptional序列上的辫子群作用,第二种利用了Auslander-Reiten箭图的结构。这是对Chen和Xiao [6,7]的结果的自然推广。与此同时,我们发现量子Serre关系广泛地存在于导出Hall代数中。第三,考虑不带定向圈的赋值箭图Q和型为Q的既约k-类S。记Λ为S的张量代数。我们可以将repS和modΛ等同起来,记repS的导出范畴为Db(S)。对于赋值箭图的sink点(source点)i,我们给出了导出范畴Db(S )上的BGP反射函子σi±: Db(S )→Db(σiS )一个更直接的定义(比较[51])。BGP反射函子是等价函子,因此诱导了扩展导出Hall代数之间的一个同构。我们还可以利用Heisenberg double建立扩展导出Hall代数之间的典范同构。结合这两类同构,我们将Lusztig对称子推广到扩展导出Hall代数上Ti,Ti : DH (Λ)→DH (Λ),并在秩为2以及ADE型情形验证了辫子群关系。