在这篇论文中我们研究了算子偏序、算子不等式及C*-代数交换性的凸函数特征.全文分三章.第一章的内容是算子的星序、左星序、右星序及最小序.这一章是论文的核心内容.近来关于矩阵的这些方面的研究吸引了许多的国内外的学者.Groβ,J.K.Baksalary和Jan Hauke等人在这些方面做出了许多的工作.详见参考文献[1].[2],[3],[4]在上述文章中,他们分别给出了矩阵的四种偏序的刻画、性质及它们之间的关系.同时还给出了矩阵的偏序和矩阵方幂的偏序之间的关系.在第一章中,我们定义并讨论了Hilbert空间上算子的四种偏序-星序、左星序、右星序及最小序,使用了与他们完全不同的方法-算子分块矩阵的思想,给出了它们几何结构的简洁而又明了的刻画,进一步用它们研究了几种偏序的性质及其关系.第二章的内容是算子不等式及范数不等式.不等式是数学中古老的问题之一,今天它在数学的各个领域里都起着重要的作用,并且提供了一个非常活跃而又有吸引力的研究领域.不等式的理论也随着算子论与算子代数的不断发展逐渐渗透进来,并成为泛函分析中的热点问题.E.F.Beckenbach和R.Bellman在Inequalities(见文献[8])一书中给出了当时关于不等式的新结果.D.S.Mitrinovic在《解析不等式》(见文献[9])一书中给出了大量的经典不等式.J.Bendat和S.Sherman在文献[6]中给出算子单调函数和算子凸函数的刻画.F.Hansen和G.K.Pedersen在文献[5]中给出关于Jensen算子不等式及Jensen迹不等式.T.Ando在文献[7]中给出关于几何均值和调和均值的算子不等式,算子单调函数和算子凸函数的刻画.在第二章中,作者以谱分解、函数演算等为工具,给出一些重要的算子不等式与范数不等式.我们还给出了R.Nakamoto在文献[19]中所研究的一个范数不等式的另一证明.第三章的内容是C<*>-代数交换性的凸函数特征.关于C<*>代数的交换性有许多的刻画.其中最著名的一种是Strinespring定理.即一个C<*>-代数A是可交换的充要条件是任何一个从C<*>-代数A到C<*>-代数B的正线性映射是完全正的;另一种是利用C<*>-代数上的算子单调函数来完成的.吉国兴和J.Tomiyama在文献[11]中考虑了一般的非二阶矩阵单调函数在C<*>-代数A上的单调性问题,证明了C<*>-代数A是交换的当且仅当存在一个非二阶矩阵单调的函数在A上是算子单调的.在第三章中,我们考虑C<*>-代数A的交换性的凸函数特征,证明了C<*>-代数A是可交换的当且仅当存在一个非二阶矩阵凸函数是A上的算子凸函数.