随机现象几乎存在于科学和工程领域的每一个分支,并且渗透到每一个普通人现代生活的各个方面.概率论是研究处处可见的随机现象的数量规律性的学科,概率是一种思考世界的方法.概率极限理论是概率论的主要分支之一,著名概率学家Kolmogorov和Gnedenko曾说过：“概率论的认识论的价值只有通过极限定理才能被揭示,没有极限定理就不可能去理解概率论的基本概念的真正含义.”概率极限理论也是统计大样本理论的重要基础.用基于样本的统计量对参数进行估计,人们非常关心的是,当样本量趋于无穷时该估计量是否逼近真实参数,即统计大样本理论中所谓的相合性.进一步则考虑估计量以什么速度逼近真实参数,极限分布又是如何?要解决这些统计大样本问题就必须依靠概率极限定理.本文的出发点主要是经验分布函数.先研究均匀经验过程的一类极限性质,另外还讨论了与经验分布函数有紧密联系的经验似然方法,用分块经验欧氏似然方法来处理基于相伴样本的一般估计方程模型的参数估计和统计推断问题.经验分布函数在统计中的地位非常重要.尽管它是不太优美的分段函数,作为分布函数的非参数估计,它是无偏的、一致相合的,并且渐近服从正态分布.经验过程在经验分布函数基础上构造,均匀经验过程是其中特殊且重要的一种.作为“不变原理”的起源之一,Doob (1949)提出,均匀经验过程的极限性质应当和布朗桥吻合,Donsker (1952)最先证明了这一猜想.经验过程的极限定理为统计大样本理论,特别是半参数模型估计量的大样本性质提供了很好的工具.另一方面,经验分布函数是分布函数的非参数极大似然估计.经验似然方法本质上是非参数似然方法,经验似然比的构造也是基于经验分布函数.本文的第一章讨论了均匀经验过程的精确渐近性质.这是建立在完全收敛性基础上的一类极限性质,最早的结果由Heyde (1975)给出.假设{x,Xn；n≥1}是一列非退化独立同分布随机变量,Sn=∑i=1 n Xi,n≥1.一个众所周知的结果是：在此基础上,Heyde (1975)给出了上述无穷级数的精确收敛速度,若EX=0,EX2<∞,则有Spataru (1999), Gut和Spataru (2000a), Gut和Spataru (2000b)对部分和Sn的这类极限定理的讨论才引起了广泛的关注,并称之为“精确渐近性”.之后有许多学者开始研究精确渐近性,值得一提的是Zhang (2001a), Zhang (2002), Jiang和Zhang (2006)等利用强逼近的办法,得到了一系列更深入更广泛的结果.受到启发,我们把精确渐近性的结果推广到均匀经验过程an(·).§1.2在均匀经验过程弱收敛到布朗桥这一结论的基础上,参考Gut和Spataru的经典方法,利用一些良好的不等式结果等,我们得到均匀经验过程二阶矩形式的精确收敛速度.对0<β≤2,δ>2/β-1,有这里假设f(t)是[0,1]区间上的函数,范数则定义为||f||=sup0≤t≤1 |f(t)|,B(t)是布朗桥.§1.3采用强逼近的办法,利用布朗桥B(·)逼近均匀经验过程α。(·),我们得到ε趋于一个正常数时的精确渐近结果.假设α>-1,b>-1,令b。(ε)是关于ε的函数,并且当n→∞,ε↘(?)时,bn(ε)log n→T,那么有§1.4仍然采用强逼近的办法,给出了ε趋于一个正常数时,均匀经验过程一阶矩的相关结论.假设a>-1,我们有第三、四两节还给出了均匀分位数过程un(t)的相应结果.延续第一章的这类极限定理,本文第二章研究了自正则和对数律形式的精确渐近性.仍然假设{X,Xn；n≥1}是一列非退化独立同分布随机变量,Sn=∑i=1nXi,n≥1.令Vn2=∑i=1n Xi2,那么Sn/Vn即自正则和.迄今为止自正则和已经有非常丰富的极限理论结果,包括Griffin和Kuelbs (1989,1991)的自正则重对数律,Gine et al. (1997)的自正则形式的中心极限定理,Shao (1997)的自正则大偏差结果等等.近期,以de la Pena为代表的一些学者进一步讨论了基于相依随机变量的一般自正则过程极限性质.这一章的两个主要结果是：当X属于正态分布吸引场,再添加一些较弱的条件,那么对于-1<b<0,有以及此处Mn:=maxk≤nSk.由于实际应用的需要,相依随机样本往往是统计学家们更加感兴趣的.最后一章,我们所考虑的正相伴和负相伴也是广泛存在于现实生活和工程中,如可靠性检验,统计力学等等.在过去二三十年,相伴随机变量序列的极限性质已经得到非常透彻的研究.本章主要利用了Peligrad和Suresh (1995), Shao和Su (1999), Zhang (2001b)的关于相伴随机变量序列的重对数律、大数律等结果,得到了参数估计量,以及模型和参数的检验统计量的渐近性质.§3.2先给出相伴情形下的一般估计方程模型和分块经验欧氏似然方法.假设Y1,…,YN是d维相伴随机样本,服从未知的分布函数F(y,θ),θ是p维未知参数向量.θ和F(y,θ)的信息可以从r个已知且相互独立的函数中得到,令g(Y1,θ)=[g1(Y1,θ),…,gr(Y1,θ)]T,有E[g(Y1,θ)]=0,此处r≥p.采用类似Kitamura (1997)的分块方法,用L作为窗宽,记则有ETi(θ)=0.给出分块经验欧氏对数似然比：根据Lagrange乘子法可得其中若r>p,根据∑i=1Q piTiA乃(θ)=0无法确定θ的值.假设θ使得lEQ(θ)达到最大,我们就称θ为θ的分块极大经验欧氏似然估计.介绍了模型和方法之后,我们又给出了正相伴和负相伴情形下(?)(θ)的阶的估计,θ0为参数的真实值.在一些较弱的条件下,可以得到正相伴时T(θ0)=o(N-(?)),负相伴时T(θ0)=O(N-(?)).这些结论为渐近性质的证明作了准备.§3.3给出了一定条件下,分块极大经验欧氏似然估计θ的强相合性.进一步得出(?)(θ-θ0)渐近服从正态分布.最后,给出参数和模型检验的两个统计量,分别为R1=2lEQ(θ)-2lEQ(θ0),R2=-2lEQ(θ),并且证明两者都渐近服从χ2分布.本文收录了作者近年来的部分研究成果.限于作者水平有限,文中难免会有不当或谬误之处,敬请诸位不吝批评和指正.