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作为算子理论中的一个重要分支，函数空间上的算子理论不仅与众多数学领域有密切联系，而且在其他数学相关学科也有重要应用. 近几十年以来，解析Bergman空间L2a及其Toeplitz算子的性质得到了充分的研究，包括算子的有界性，紧性及代数性质等.而在调和Bergman空间L2h中的Toeplitz算子理论和在解析Bergman空间中差异很大.由于共轭基底的存在，L2h上的Toeplitz算子的性质很难刻画.本论文的研究内容如下: 第一章介绍了函数空间及其上的算子理论的研究发展历程和现状，包括经典的Hardy空间H2，Bergman空间和调和Bergman空间上的Toeplitz算子理论. 第二章主要先介绍了解析Bergman空间L2a及其上的Toeplitz算子定义和性质.首先给出了在L2a上两个以调和函数为符号的Toeplitz算子的乘积仍是Toeplitz算子的充要条件，随后说明了以拟齐次函数为符号的Toeplitz算子的相同问题，接着验证了算子乘积L2z，L2(z)，TzT(z)，T(z)Tz和T2z+(z)仍是Toeplitz算子. 第三章先介绍了调和Bergman空间L2h及其上的Toeplitz算子定义和性质.接着刻画了在L2h上Toeplitz算子Tz的拟齐次的换位子，若一个以拟齐次函数为符号的Toeplitz算子与Tz可交换，则其必与z，z-1和常值1之一线性相关，然后通过对调和Bergman空间的基底作用验证了算子乘积T2z，T2(z)，TzT(z)和T(z)Tz不是Toeplitz算子，用Mellin变换和Mellin卷积证明了不存在以径向函数为符号的Toeplitz算子使得TzT(z)+T(z)Tz为Toeplitz算子，最后讨论了T2z+(z)的幂级数的展开式，推出矛盾，说明了T2z+(z)不是Toeplitz算子.