【摘 要】
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到目前为止,光学、等离子体物理、海洋物理、数学等领域出现了一大批重要的非线性演化方程用以描述各类非线性现象,而要利用这些非线性演化方程解释非线性现象,其中一个重要的课题就是找到它们的精确解。截至目前,人们找到了一系列较为成熟的求解非线性演化方程的精确解的方法,比如对称理论,Darboux变换,B(?)cklund变换,Hirota双线性方法等等。伴随着计算机辅助计算和求解方法的不断创新改进,科学家
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到目前为止,光学、等离子体物理、海洋物理、数学等领域出现了一大批重要的非线性演化方程用以描述各类非线性现象,而要利用这些非线性演化方程解释非线性现象,其中一个重要的课题就是找到它们的精确解。截至目前,人们找到了一系列较为成熟的求解非线性演化方程的精确解的方法,比如对称理论,Darboux变换,B(?)cklund变换,Hirota双线性方法等等。伴随着计算机辅助计算和求解方法的不断创新改进,科学家们已经找到了大量非线性演化方程的十分丰富且具有物理意义的精确解,如孤立子解,呼吸子解,扭结解,怪波解等等。除了这些孤立的局域结构,近年来,孤子的束缚态结构,包括孤子分子,呼吸子分子,孤子-呼吸子分子,非简并孤子等也吸引了众多学者的关注。本文主要从两个非线性演化模型出发,借助符号计算工具,研究了它们的孤子束缚态结构。第一章,主要阐述了孤子理论的发展历程和孤子束缚态的研究现状,并简单介绍了主要的研究方法。第二章,基于Hirota双线性方法,构造了广义六阶非线性波动方程在一定约束条件下的多孤子解。在多孤子解的基础上引入速度共振机制,构造了该方程的孤子束缚态结构,其中包括两孤子分子解,孤子-呼吸子分子解和呼吸子分子解等。最后讨论了广义六阶非线性波动方程与可积的双向Sawada-Kotera-Caudrey-Dodd-Gibbons方程(SKCDG)的联系,并构造了双向SKCDG方程的孤子-呼吸子分子解。第三章,主要研究了 2+1维变系数耦合Ginzburg-Landau(GL)方程的孤子束缚态结构。首先,通过相似变换建立了 2+1维变系数耦合GL方程和2+1维耦合非线性薛定谔(NLS)方程的联系。利用Hirota双线性方法构造2+1维耦合NLS方程的非简并孤子解,结合相似变换,并通过控制变系数的具体形式获得2+1维变系数耦合GL方程的多种姿态的孤子束缚态解。第四章是总结和展望。
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